Чтение онлайн

Ответ. р1 = - 2, q1 = 1; р2 = 2, q2 = 1.

8.14. После замены x– 1 = y получим многочлен

(y + 1)2n + 1– (2п + 1)(y + 1)n + 1 + (2п + 1)(y + 1)n– 1,

который должен делиться на y^3. Вычислим его коэффициенты при y0, y1 и y2.

Свободный член этого многочлена равен

1 - (2n + 1) + (2n + 1) - 1 = 0;

коэффициент при y

2n + 1 - (2n + 1)(n + 1) + (2n + 1)n = 0;

коэффициент при y^2

Тем самым утверждение доказано.

8.15. Чтобы данный многочлен делился на x^2 - x + q без остатка, должно выполняться тождество

6х4– 7x^3 + рх^2 + 3x + 2 = (x^2 - x + q)(6х^2 + ax + b).

B правой части стоит многочлен

6x4 + (а– 6)x^3 + (b– а + 6q)x^2 + (-b + qа)x + qb.

Так как многочлены равны тождественно, получаем систему

Из первого уравнения а = -1. Из третьего и четвертого уравнений исключаем b. Приходим к уравнению

q^2 + 3q + 2 = 0,

откуда

q1 = -1, q2 = -2.

Сложив второе и третье уравнения, также исключим b:

5q– 2 = p.

Следовательно,

р1 = -7, p2 = -12.

Итак, возможны два решения.

Ответ.

Ответы к упражнениям на с. 42, 43 и 52.

1. Абсолютное тождество, так как верно при всех без исключения значениях x.

2. Абсолютное тождество. Верно при x /= /2 + k. Если же x = /2 + k, то обе части теряют смысл.

3. Неабсолютное тождество. Область определения левой части: x /= /2 + k, область определения правой части: x /= k/2.

4—6. Тождество 4 является абсолютным, поскольку это определение секанса. Тождества 5 и 6 неабсолютные, так как правые части определены всегда, в то время как левые могут терять смысл.

7—8. Тождество 7 абсолютное. B самом деле, левая часть теряет смысл при cos x/2 = 0. Правая часть может быть записана в виде

Тождество 8 неабсолютное. Левая часть теряет смысл при cos x/2 = 0, а правая, которая может быть записана в виде

9—10. Левую часть равенства 9 можно преобразовать так:

ctg 2x = cos 2x/sin 2x = cos 2x/2sin x cos x,

а правую записать в виде

Обе части этого равенства перестают существовать одновременно, если либо cos x = 0, либо sin x = 0, следовательно, тождество 9 абсолютное.

Тождество 10 является неабсолютным, поскольку при x = /2(2n + 1) левая часть равна нулю, а правая теряет смысл.

11—13. Первое из этих трех тождеств неабсолютное, второе и третье — абсолютные.

14—16. Первое и второе тождества неабсолютные, третье — абсолютное.

B самом деле, для первого область определения левой части: x > 0, y > 0; x < 0, y < 0, а область определения правой части: x /= 0; y /= 0. Для второго область определения левой части x /= 0, а область определения правой части x > 0.

Наконец, для третьего x /= 0 для обеих частей тождества.

17. Пусть x = а — корень данного уравнения. Тогда f(а) = (а). Поскольку (x) существует при всех x, то (а) — число; следовательно,

f(a) + (а) = (а) + (а). (1)