Чтение онлайн

Ответ.– 8 - 71 < k < 0; -8 + 71 < k < 8/3.

9.13. Если x >= -у и x >= y, то получим системы

которая при x >= -у и x >= y имеет решение

x >= |a|/2, y = а/2

при условии а = -b.

Если x >= -у, но x <= y, то

Из условия x >= -у находим -b/2 >= -а/2, а из второго условия: -b/2 <= а/2. Оба этих неравенства соответствуют условию а >= |b|.

Если x <= -у, а x >= y, то

Подставляя найденные значения x и y в ограничения, получим b >= |а|.

Наконец, если x <= - у, x <= y, получим

Это значит, что а = b. Так как y >= x, но y <= -х, то -x >= 0. Окончательно получим при а = b >= 0

x = -а/2, -а/2 <= y <= а/2.

Ответ. При а = -b, x >= |а|/2, y = а/2; при а >= |b|, x = -b/2, y = а/2; при b >= |a|, x = -а/2, y = -b/2; при а = b >= 0, x = -а/2, -а/2 <= y <= а/2.

9.14. Уравнение x^2 + y^2 = а при а < 0 не имеет решений. Если а >= 0, то это — уравнение окружности радиуса a с центром в начале координат. Второе уравнение определяет стороны квадрата, диагонали которого равны 2 и расположены на осях координат (рис. P.9.14).

При увеличении а окружность будет увеличиваться и сначала окажется вписанной в квадрат, затем пересечет его в восьми точках и, наконец, будет описана около квадрата.

Итак, если а < 2/2, то система не имеет решений.

Если а = 2/2, т. е. а = 1/2 , получим четыре решения: x = 1/2 , y = 1/2 и три симметричных: (- 1/2 , 1/2 ), (- 1/2 , - 1/2 ), ( 1/2 , 1/2 ).

Если 1/2 < а < 1, то восемь решений. Мы найдем их, возведя первое уравнение в квадрат и получив с помощью второго уравнения, что |x| · |y| = 1 - a/2. B результате придем к системе

которая при положительных x и y имеет два решения:

К этим решениям нужно добавить шесть симметричных.

Если а = 1, то y системы четыре решения: x1 = 1, y1 = 0; x2 = 0, y2 = 1; х3 = -1, у3 = 0; х4 = 0, у4 = -1. При а > 1 решений нет.

9.15. Если либо x = 0, либо y = 0, то второе неизвестное тоже равно нулю. Получаем очевидное решение

x1 = 0, y1 = 0.

Если ху /= 0, то можно первое уравнение разделить на ху, а второе — на x^2y^2. Получим систему

Введем обозначения:

x + 1/x = u, y + 1/y = v.

Возводя каждое из этих равенств в квадрат, получим x^2 + 1/x^2 = u^2 - 2, y^2 + 1/y^2 = v^2 - 2.

Система примет вид

Решая ее, найдем: u1 = 4, v1 = 14; u2 = 14, v2 = 4. (Если первое уравнение возвести в квадрат и сравнить со вторым, то получим uv = 56.) Остается решить две системы:

в результате чего получим восемь решений.

Ответ. (0, 0); (2 + 3, 7 + 43); (2 + 3, 7 - 43); (2 - 3 , 7 + 43 ); (2 - 3, 7 - 43 ); (7 + 43 , 2 + 3); (7 + 43, 2 - 3); (7 - 43, 2 + 3); (7 - 43, 2 - 3).