Чтение онлайн

Если x + y = 0, то и ху = 0, следовательно,

x1 = 0, y1 = 0.

Если x– y = 3, то, подставляя во второе уравнение данной системы y = x– 3, придем к уравнению x^2 - 7x + 6 = 0, с помощью которого найдем два решения системы:

x2 = 1, y2 = -2;

x3 = 6, y3 = 3.

Если же x– y = -3, то аналогично получим

x4 = -2, y4 = 1;

x5 = 3, y5 = 6.

Производим проверку.

Ответ. (0, 0); (1, -2); (6, 3); (-2, 1); (3, 6).

9.22. Умножим первое уравнение на t:

хt + уt = t

и вычтем из второго. Аналогично поступим со вторым и третьим уравнениями. Придем к системе, не содержащей y:

B результате могут быть получены посторонние решения, в которых t = 0. Однако решение нашей системы мы закончим проверкой, благодаря которой все посторонние решения будут отсеяны.

Если x = 0, то одновременно 2 - t = 0 и 5 - 2t = 0, что невозможно. По аналогичной причине z–  t /= 0, z /= 0.

Поделим теперь второе уравнение последней системы на первое, а третье на второе. Получим

z = 5 - 2t/2 - t, z = 14 - 5t/5 - 2t.

Приравнивая эти выражения для z, придем к квадратному уравнению относительно t:

t^2 - 4t + 3 = 0, т. е. t1 = 1, t2 = 3.

Итак, z1 = 3, z2 = 1.

Остается определить x и y и сделать проверку.

Система имеет два решения.

Ответ. ( 1/2 , 1/2 , 3, 1) ( 1/2 , 1/2 , 1, 3).

9.23. Возведем первое уравнение в квадрат и вычтем из второго уравнения. После упрощения получим

2ху– 3хz + 6уz = 54.

Третье уравнение позволяет заменить 3xz на 4у^2:

2ху– 4у^2 + 6уz = 54, или ху– 2у^2 + 3уz = 27. (8)

Вычтем из уравнения (8) первое уравнение системы, умноженное на y [17] , получим

y = 3.

Подставим в первое и третье уравнения системы

Решая эту систему, найдем два решения:

x1 = 3, z1 = 4; x2 = 12, z2 = 1.

Производим проверку.

Ответ. (3, 3, 4); (12, 3, 1).

9.24. Сложив первое уравнение со вторым, первое с третьим и, наконец, второе с третьим, получим систему

Перемножим эти уравнения и обозначим xyz = u:

u^3 = (u + 2)(u^2 - 9),

а после упрощения

2u^2 - 9u– 18 = 0,

откуда u1 = 6, u2 = -3/2.

Для первого значения u находим x^3 = 8, y^3 = 3, z^3 = 9, аналогично поступаем с u2. Производим проверку.

Ответ.

9.25. Обозначим x1 + x2 + ... + xn = s. Тогда уравнение, стоящее на месте с номером k, примет вид

xk(s– xk) + k(k + 1)s^2 = (2k + 1)^2а^2,

или

xk^2 - sxk– k(k + 1)s^2 + (2k + 1)^2a^2 = 0,

откуда

Возьмем для всех xk знак минус и составим сумму х1 + ... + xn. Получим уравнение относительно в