Чтение онлайн

Во втором случае получаем

После того как были найдены первые два решения, решение системы можно было закончить следующим рассуждением.

Данная система симметрична относительно x, y и z. Поэтому одно ее решение (2, -2, 1) порождает 3! = 6 решений, получающихся в результате всевозможных перестановок. Таким образом, мы получим шесть различных решений системы.

С другой стороны, можно доказать, что система может иметь не больше решений, чем произведение степеней ее уравнений: 1 · 2 · 3 = 6. Поскольку все шесть решений найдены, решение системы можно считать законченным, если проверить одно из найденных решений.

Ответ. (2, -2, 1); (-2, 2, 1); (1, 2, -2); (2, 1, -2), (-2, 1, 2); (1, -2, 2).

9.19. Рассмотрим многочлен M(t) = (t– x)(t– y)(t– z) + d. Его корнями по условию являются не совпадающие друг с другом числа а, b и с, следовательно,

M(t) = (t– а)(t– b)(t– с), или (t– а)(t– b)(t– с) (t– x)(t– y)(t– z) + d.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, найдем

x + y + z = а + b + с = u,

ху + хz + уz = ab + ас + bc = v,

xyz = аbс + d = w

(справа указаны вводимые нами обозначения).

Поскольку нужно найти сумму x^3 + y^3 + z^3, выразим ее через u, v и w, осуществив непосредственное возведение в куб суммы x + y + z = u:

u^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3uv– 3w (5)

(необходимые выкладки проведите самостоятельно). Запишем теперь то же соотношение для а + b + с = u и тем самым выразим а^3 + b^3 + с^3 через u, v и w:

u^3 = а^3 + b^3 + с^3 + 3uv– 3(w– d). (6)

Вычитая из (6) соотношение (5), получим

x^3 + y^3 + z^3 = а^3 + b^3 + с^3 + 3d.

Ответ. а^3 + b^3 + с^3 + 3d.

9.20. Умножив первое уравнение на ху^2z^2, а второе — на x^2уz^2, получим y первых двух уравнений равные правые части:

При этом могут быть получены посторонние решения, y которых одно из неизвестных обращается в нуль. Эти решения можно сразу отбросить, так как система в этом случае не удовлетворяется.

Сравним левые части полученных уравнений:

4z(x– y) = 0.

Так как z /= 0, то x = y. Из третьего уравнения системы получаем тогда z = 1/x^3. Подставим эти значения y и x в первое уравнение:

4х4 + 1 = 0. (7)

Уравнение (7) не имеет действительных решений.

Ответ. Действительных решений нет.

9.21. Возведя второе уравнение в квадрат, найдем

(x + y)^2 = x^2y^2/4.

Подставим в первое уравнение

x4 + y4 = 17/4x^2y^2, т. е. (x^2 - y^2)^2 = 9/4x^2y^2,

откуда

x^2 - y^2 = ±3/2ху,

или, воспользовавшись вторым уравнением исходной системы, получим

x^2 - y^2 = ±3(x + y),

откуда

(x + y)(x– y ± 3) = 0.