Чтение онлайн

откуда

Мы взяли перед корнем знак плюс, так как из уравнения для в видно, что s > 0; знаменатель не обращается в нуль ни при каких натуральных h.

Остается подставить найденное значение в в выражение для xk и сделать проверку.

Ответ.

9.26. Пусть 7x– 11у = u, т. е. 7(x + y) - 18у = u, откуда x + y = и + 18y/7, а x + 9у = (x + y) + 8у = и + 74y/7.

Приходим к системе

Из последней системы исключим y:

Если u = 0, то, как легко видеть, придем к очевидному решению: x1 = y1 = 0.

Если u /= 0, то получаем уравнение

откуда u1 = 1/3 , u2 = - 1/3 , u3 = 2, u4 = -2.

Для каждого значения u составляем систему 

Делаем проверку.

Ответ. (0, 0); (10/243, -1/243); (-10/243, 1/243); (5, 3); (-5, -3).

9.27. Если сложить уравнения системы и вычесть из первого второе, получим систему:

Возведем каждое из уравнений системы (9) в квадрат и вычтем из первого полученного уравнения второе. Получим

т. е.

(а– x)(b– x) = x^2, или (а + b)x = ab.

Если а + b = 0, но ab /= 0, то последнее уравнение, а следовательно, и данная система не имеют решений.

Если а + b = 0 и ab = 0, то а = b = 0. Написанная в начале решения система принимает вид

откуда y = -x и y = x одновременно, т. е. при а = b = 0 система имеет единственное решение x = y = 0.

Если а + b /= 0, то x = ab/a + b.

Из уравнения

т. е.

Так как а + b стоит в предпоследнем уравнении под радикалом и а + b /= 0, то а + b > 0.

Преобразовывая систему, мы получили уравнение

Теперь можно записать, что

y = a + b/4.

Делаем проверку. Первое уравнение системы после подстановки примет вид

2а– |а– b| = а + b.

Если а >= b, то это уравнение удовлетворяется, а если а < b, то получим а = b, что противоречит предположению а < b.

Второе уравнение системы после подстановки дает равенство 2b + |а– b| = а + b.

При а >= b получаем тождество.

Ответ. Если а >= b >= 0 и а + b > 0, то x = ab/a + b, y = а + b/4; если а = b = 0, то x = y = 0.

9.28. Обозначим у = z. Тогда система перепишется в виде

Дважды возведем первое уравнение в квадрат:

4z^2 = 4х– 1, или z^2 = x– 1/4 .

Заменив

Из последнего уравнения находим z^2:

z^2 = 9/4– 3x,

и сравниваем с выражением для z^2, полученным из первого уравнения:

x– 1/4 = 9/4– 3x.

Отсюда x = 5/8, а y = z^2 = 3/8.