Чтение онлайн

Проверяем найденные значения x и y. Левая часть первого уравнения системы примет вид

Левая часть второго уравнения вычисляется проще:

Ответ. (5/8, 3/8).

9.29. Способ 1. Так как а и b положительны, то из данных уравнений следует, что x > 0 и y > 0.

Возведем каждое из уравнений в квадрат:

B результате могут быть приобретены только такие посторонние решения, при которых либо x < 0, либо y < 0.

Выражения 1 - y^2 и 1 - x^2, как это видно из последней системы, останутся положительными.

Мы получили систему относительно x^2 = u и y^2 = v:

Чтобы эта система была равносильна предыдущей (при замене неизвестных равносильность может быть нарушена!), достаточно потребовать выполнения неравенств

u > 0, v > 0.

Раскрыв в последней системе уравнений скобки, получим

Вычитая из первого уравнения второе, найдем

u - v = а^2 - b^2,

т. е. u = v + а^2 - b^2. Подставим в первое уравнение последней системы, получим квадратное уравнение относительно v:

v^2 + (а^2 - b^2 - 1)v + b^2 = 0,

откуда

Вычисляем u:

(У u и v, входящих в одно решение, берутся одноименные знаки.)

Подкоренное выражение можно преобразовать следующим образом:

(1 - а^2 + b^2)^2 - 4b^2 = (1 - а^2 + b^2 - 2b)(1 - а^2 + b^2 + 2b) = [(1 - b)^2 - а^2][(1 + b)^2 - а^2] = (1 - b– а)(1 - b + а)(1 + b– а)(1 + b + а).

Так как а > b > 0 и а + b < 1, то каждый из четырех множителей положителен и дискриминант тоже положителен.

Если перед корнем выбран знак плюс, то u и v положительны. Докажем, что v > 0. Имеем а^2 - b^2 = (а– b)(а + b) < а– b < а– b + 2b = а + b < 1. Следовательно, 1 - а^2 + b^2 > 0 и, обращаясь к выражению для v, находим, что v > 0. Так как а > b, то очевидно, что и u > 0.

Если перед корнем выбран знак минус, то нужно проверить, что u и v положительны. Так как а > b, то проверку достаточно провести для v, которое меньше u.

Неравенство

Нетрудно проследить, что в процессе решения системы уравнений относительно u и v при условии, что u и v положительны, мы не нарушали равносильности.

Способ 2. Эту систему естественно было бы решать с помощью подстановки x = sin , y = sin , где 0 < < /2, 0 < < /2. Такая подстановка возможна, поскольку из имеющихся в условии ограничений легко получить, что 0 < x < 1, 0 < y < 1. Получим систему

Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем

Так как по условию 0 < а + b < 1 и 0 < а– b < 1, а на и были наложены ограничения 0 < < /2, 0 < < /2, то можно написать

или

Из первой системы получим

Найдем sin 1 и sin 1:

где = arcsin (а + b), = arcsin (а– b). (При выборе знаков перед корнями мы здесь и в дальнейшем принимаем во внимание ограничения на и : 0 < < /2, 0 < < /2.) Продолжим преобразования:

Нетрудно убедиться в том, что

[1 - (а + b)^2][1 - (а– b)^2] = (1 - а^2 + b^2)^2 - 4b^2.

Аналогично найдем sin 1, а также sin 2 и sin 2.

Ответ. Если а > b > 0, а + b < 1, то система имеет два решения:

9.30. Наряду с решением x1, y1, z1 система обязательно имеет решение -х1, -у1, z1. Поэтому у системы будет единственное решение только в том случае, когда x = y = 0.