Чтение онлайн

что и требовалось доказать.

10.14. Дискриминант квадратного трехчлена равен 1 - 4а. Если а < 1/4 , то дискриминант положителен и уравнение ax^2 + x + 1 = 0 имеет два различных корня:

Когда а > 0, т. е. 0 < а < 1/4 , то получим решения неравенства:

x < x1, x > x2.

Когда а < 0, то легко проверить, что x2 < x1. Поэтому решения запишутся в виде

x2 < x < x1.

Дискриминант отрицателен, когда а > 1/4 , а следовательно, а > 0. Неравенство удовлетворяется при всех x.

Если а = 1/4 , то решения неравенства запишутся в виде x /= -2.

10.15. Условия задачи выполняются тогда и только тогда, когда интервал 1 < x < 2 будет расположен между корнями параболы, т. е. если

Подставляя значения 1 и 2 в данный трехчлен, получим систему двух квадратных неравенств

Решая первое неравенство, найдем

– 7 - 35/2 <= m <= – 7 + 35/2,

а решая второе, получим

– 4 - 23 <= m <= -4 + 23.

Ответ.– 1/2 (7 + 35) <= m <= -4 + 23.

10.16. Пусть x1 и x2 — корни данного трехчлена. Тогда

Если корни x1 и x2 действительны, то из первой формулы следует, что они не могут быть оба положительными. Если оба корня отрицательны, то из второй формулы находим а > 0, а следовательно, корни x1 и x2 меньше а. Если а = 0, то один из корней равен -1, и условие задачи снова не выполняется. Таким образом, а < 0. При а < 0 дискриминант 1 - 4a положителен и оба корня действительные. Потребуем, чтобы меньший из них был больше а, т. е.

Это неравенство эквивалентно такому:

Возведя обе части неравенства в квадрат, мы должны позаботиться о сохранении связей, которые неявно присутствуют в этом неравенстве:

Последнее неравенство выполняется, так как мы установили, что а < 0. Первые два преобразуются к виду

Ответ. а < -2.

10.17. Так как k /= 0, то ветви параболы направлены вверх. Внутри интервала от -1 до +1 парабола имеет только один корень тогда и только тогда, когда на концах этого интервала трехчлен имеет разные знаки, т. е.

(k^2 - k– 2)(k^3 + k– 2) < 0.

Разлагая каждый из трехчленов на множители, получим

(k– 2)(k + 1)(k + 2)(k– 1) < 0.

Ответ.– 2 < k < -1; 1 < k < 2.

10.18. Условие, что ветви параболы направлены вверх, означает, что m > 0. Если парабола не пересекает ось Ox, то получаем систему

Если же данный квадратный трехчлен имеет действительные корни, то больший корень не должен быть положительным:

Второе неравенство второй системы (а следовательно, и вся система) не имеет решений при m > 0, так как числитель и знаменатель оказываются положительными.

Решая второе неравенство первой системы, найдем

m < -4/3, m > 1.

Принимая во внимание первое неравенство, находим решение системы: m > 1.

Пусть теперь m = 0. Правая часть данного неравенства принимает вид -4x + 1 > 0, т. е. x < 1/4 , и неравенство удовлетворяется не при всех положительных x.

Ответ. m > 1.

10.19. Неравенство равносильно совокупности двух систем

Решая каждое из четырех неравенств, придем к новой совокупности двух систем:

Итак, 3 <= x < 5, 2 < x < 3.

Ответ. 2 < x < 5.

10.20. Неравенство можно переписать в виде

(x– 3)^2 > (x + 2)^2,

откуда после раскрытия скобок и приведения подобных получим линейное неравенство.

Ответ. x < 1/2 .

10.21. При x > 0 неравенство можно переписать в виде

Последнее неравенство равносильно системе

которая несовместна, так как несовместны два последних неравенства.

При x < 0 входящее в данное неравенство выражение

Ответ. Неравенство не имеет решений.

10.22. Данное неравенство можно переписать так:

Получаем совокупность двух систем

Решаем первую систему

Если правая часть второго неравенства отрицательна (x > 1/3 ), то неравенству будут удовлетворять все x, при которых подкоренное выражение неотрицательно (x^2 <= 1/4 , |x| <= 1/2 ). Получаем интервал решений 1/3 < x <= 1/2 .