Чтение онлайн

Если правая часть второго неравенства неотрицательна (x <= 1/3 ), то второе неравенство можно возвести в квадрат (дополнять систему условием 1 - 4x^2 >= 0 или |x| <= 1/3 не нужно). После простых преобразований получим

откуда 0 < x <= 1/3 . Объединяя интервалы 0 < x <= 1/3 и 1/3 < x <= 1/2 , получим решение первой системы: 0 <= x <= 1/2 .

Перейдем ко второй системе:

Условие x < 0 обеспечивает положительность правой части второго не равенства. Возведем второе неравенство в квадрат, учитывая, что |x| <= 1/2 . Получим

Ответ.– 1/2 <= x < 0, 0 < x <= 1/2 .

10.23. Перепишем данное неравенство в виде

Так как в неравенство входит выражение

 а потому . Вынесем множитель  за скобки:

Это неравенство равносильно системе

Возведем первое неравенство системы в квадрат. При этом следует добавить условие, в силу которого выражение, «освободившееся» от влияния радикала, должно быть неотрицательным:

Так как x^2 - x + 1 > 0 при всех x, то первому неравенству системы могут удовлетворять только x > 0, ибо выражение справа всегда положительно. Следовательно, систему можно переписать в виде

Обозначим

 тогда первое неравенство примет вид y^2 - 2y + 1 > 0, т. е. (y– 1)^2 > 0, откуда y /= 1. Итак,

Последняя система равносильна такой:

Ответ.

10.24. При x > 0 правая часть неравенства положительна, так как в этом случае

 Возведем обе части неравенства в квадрат; получим систему

Последнее неравенство системы — следствие того, что x > 0. Перенесем во втором неравенстве 1 + x в левую часть и произведем некоторые упрощения. Получим систему

Так как x > 0, то второе неравенство можно возвести в квадрат, не добавляя при этом никаких ограничений (убедитесь в этом самостоятельно):

121x^2 + 198x + 81/4x^2 + 36x + 81 > 1 + 2x.

Умножим неравенство на знаменатель, который при x > 0 положителен; после приведения подобных получим систему

Итак, в первом случае неравенство имеет решения: 0 < x < 45/8.

При x = 0 данное неравенство не удовлетворяется.

Если же x < 0, то, умножив обе части на -1, придем к неравенству

Проделав с этим неравенством преобразования, аналогичные случаю, когда x > 0, придем к выводу, что оно не имеет решений при отрицательных x.

Ответ. 0 < x < 45/8.

10.25. Перепишем данное неравенство в виде

т. е.

Обозначив выражение, стоящее в скобках, через y, получим квадратное неравенство

y^2 + y– 42 < 0,

которое имеет решения: -7 < y < 6. Итак,

Поскольку сумма

 всегда положительна, то достаточно решить лишь правое неравенство:

После возведения в квадрат получим неравенство

равносильное исходному, так как корни x и

 здесь не устранены. (Заметьте, что, заменив выражение x  на  мы могли нарушить равносильность.) После второго возведения в квадрат придем к системе

Ответ. 0 <= x < 841/144.

10.26. Неравенство удобно переписать в виде

Оно равносильно совокупности двух систем

Решая последнее неравенство каждой из систем, найдем -|а| <= x <= |а|.

Так как в первой системе x > 0, то для нее получим решения:

0 < x <= |а|, а /= 0.

Перейдем ко второй системе. Решая второе неравенство, получим

– |а|/5 < x < |а|/5.

Мы приходим к системе

решениями которой будут значения из интервала -|а|/5 < x <= 0 при а /= 0. Остается объединить решения двух систем.

Ответ. При а /= 0: -|а|/5 < x <= |а|; при а = 0 неравенство не имеет решений.

10.27. Приведем степени, входящие в данное неравенство, к основанию 2 и поделим на 2x 2x:

2x – x <= 3 + 4 · 2x– x;