Чтение онлайн

x < -7, -5 < x <= -2, x >= 4.

Решая второе неравенство второй системы, получим -2 <= x <= 4, а третье неравенство имеет решения x < -1, x > 2. Следовательно, система принимает вид

т. е. не имеет решений.

Ответ. x < -7, -5 < x <= -2, x >= 4.

10.38. Обозначим logа x = y. Неравенство примет вид

1 + y^2/1 + y > 1.

Так как 1 + y^2 > 0, то и 1 + y > 0. Поэтому данное неравенство равносильно системе

т. е.

Получаем два интервала решений:

– 1 < y < 0, y > 1.

Так как y = logа x, то нужно рассмотреть два случая.

Во-первых, если а > 1, то logа x - функция возрастающая и мы получим два интервала решений:

1/a < x < 1, x > а.

Если же 0 < а < 1, то получим другие два интервала решений:

1 < x < 1/a, 0 < x < а.

Ответ. При а > 1: 1/a < x < 1, x > а; при 0 < а < 1: 0 < x < а, 1 < x < 1/a.

10.39. Перейдем к основанию k:

где y = logk x. Последнее неравенство можно переписать так:

Выражение, стоящее в числителе, всегда положительно. Поэтому решением неравенства будут два интервала:

y < -1, y > 0.

Вспоминая, что y = logk x и 0 < k < 1, найдем соответствующие интервалы для x.

Ответ. 0 < x < 1, x > 1/k.

10.40. Поскольку 4x– 6 должно быть больше нуля, то x > 1. Следовательно, приходим к системе неравенств

Решая второе неравенство системы, найдем x > log2 7.

Третье неравенство перепишем в виде системы

решением которой будет интервал log2 6 < x <= log23. Так как log2 7 > log2 6, то получим решение данного неравенства.

Ответ. log2 7 < x <= log2 3.

10.41. Данное неравенство эквивалентно такому:

Знаменатель всегда положителен. Поэтому

|х^2 - 4x| + 3 >= x^2 + |x– 5|,

остается раскрыть знаки абсолютной величины. Нанесем точки 0, 4, 5 на числовую ось и рассмотрим четыре случая.

Если x < 0, то получаем систему

которой удовлетворяет полупрямая x <= - 2/3 .

Если 0 <= x <= 4, приходим к системе

решением которой будет отрезок 1 < x < 2.

Если 4 < x <= 5, то наше неравенство примет вид x^2 - 4x + 3 >= x^2 + 5 - x, откуда x <= - 2/3 . Это не удовлетворяет условию 4 < x <= 5, а потому в данном случае решений нет.

Остается случай x > 5. Раскрывая знаки абсолютных величин, получим x <= 8/5. Здесь снова нет решений.

Ответ. x < - 2/3 ; 1/2 <= x <= 2.

10.42. Из условия следует, что x > 2. Поэтому x^3 - 7 > 0, а также x– 1 > 1 и (x - 1)^2 > 1. Данное неравенство равносильно такому:

Так как x– 1 > 0, то

После упрощений последнее неравенство сведется к квадратному: -4x^2 + 5x + 3/2 >= 0, имеющему решения - 1/4 < x < 3/2. Так как, кроме того, x > 2, то исходное неравенство не имеет решений.

Ответ. Решений нет.

10.43. Так как первый сомножитель положителен, то, чтобы неравенство удовлетворялось, необходимо

log2 (2 - 2x^2) > 0, т. е. 2 - 2x^2 > 1, 2|x| < 1,

откуда

0 <= 2|x| < 1 и -1 <= 2|x| - 1 < 0.

Следовательно, |2|x| - 1| <= 1. Таким образом, первоначальное неравенство может удовлетворяться только, если