Чтение онлайн

откуда n < 1/5, n > 1, или n /= 1. Мы получили бесконечное множество значений x. Чтобы выбрать из них подходящие, разберем два случая, в зависимости от того, четное или нечетное число n. Когда n = 2k, данное неравенство можно переписать в виде |x|2k < 1, т. е. (|x| - 1)k < 0. Поскольку x < 0, то получаем (x + 1)k > 0. Так как x = 20k– 2/5 - 10k, то

откуда k < -3/10, 0 < k < 1/2 . Так как k — целое, то k = -1, -2, -3, ... . Получаем серию решений первоначального неравенства: x = 20k– 2/5 - 10k, k = -1, -2, -3, ... .

Пусть теперь n = 2k + 1. Тогда x = 10(2k + 1) - 2/5 - 5(2k + 1) = -10k + 4/5k. Так как x < 0, то исходное неравенство при этих значениях n удовлетворяется, если n /= 1, т. е. k /= 0.

Ответ. 0 <= x < 1, x = 20k– 2/5 - 10k, k = -1, -2, -3, ...; x = -10k + 4/5k, k = ±1, ±2, ±3, ... .

10.33. Данное неравенство эквивалентно неравенству

0 <= log2 3 - 2x/1 - x < 1.

(Ограничение слева обеспечивает неотрицательность числа, стоявшего под знаком квадратного корня.)

Поскольку 0 = log2 1, 1 = log2 2 и основание логарифмов больше единицы, последнее неравенство можно записать так:

1 <= 3 - 2x/1 - x < 2.

Требование положительности числа 3 - 2x/1 - x, которое могло быть нарушено при таком преобразовании, выполняется здесь автоматически.

Поскольку неравенство 1 <= y < 2 эквивалентно неравенству y– 1/y– 2 <= 0, получаем

Ответ. x >= 2.

10.34. Данное неравенство равносильно системе

0 < |x– 1/2x + 1| < 1.

Тем самым мы обеспечили положительность числа, стоявшего в условии под знаком логарифма. Левое неравенство можно заменить условием x /= 1. Тогда получим систему

Эту систему можно преобразовать так:

Входящее в эту систему неравенство можно возвести в квадрат, не нарушая его равносильности:

(x– 1)^2 < (2x + 1)^2,

т. е. 3x^2 + 6х > 0, откуда x < -2, x > 0. Итак,

Ответ. x < -2, 0 < x < 1, x > 1.

10.35. Приведем все логарифмы, участвующие в неравенстве, к основанию 5:

Последнее из преобразований правой части неравенства требует, вообще говоря, ограничения x /= 1. Однако это значение неизвестного оказывается «запретным», поскольку в левой части остается выражение, содержащее log5 x в знаменателе. Получаем равносильное неравенство

которое преобразуется к виду

допускающему применение метода интервалов. Итак,

log5 x < - 1/2 , 0 < log5 x < log5 3.

Ответ. 0 < x < 1/5, 1 < x < 3.

10.36. Так как log 1/2 N = -log2 N, то данное неравенство перепишем в виде

log2 (2x– 1)log2 (2x + 1– 2) < 2.

Преобразуем второй сомножитель:

log2 (2x + 1– 2) = log2 [2(2x– 1)] = 1 + log2 (2x– 1).

Обозначив log2 (2x– 1) = y, получим квадратное неравенство

y(y + 1) < 2, или y^2 + y– 2 < 0,

решения которого лежат в интервале

– 2 < y < 1.

Вспоминая, чему равен y, получим

– 2 < log2 (2x– 1) < 1,

1/4 < 2x– 1 < 2, 5/4 < 2x < 3.

Ответ. log2 5 - 2 < x < log2 3.

10.37. Преобразуем левую часть неравенства:

Неравенство

log|x + 6| (х^2 - x– 2) >= 1

равносильно совокупности двух систем

Второе неравенство первой системы равносильно совокупности систем решая которые найдем

x <= -2, x >= 4.

Таким образом, первая система может быть приведена к виду

и ее решениями будут интервалы: