Чтение онлайн

обозначив 2x – x = y, получим

y <= 3 + 4/y,

а так как y > 0, то

y^2 - 3y - 4 <= 0.

Корни трехчлена: -1, 4; так как меньший корень отрицателен, то получаем

2x – x <= 4,

т. е. x– x <= 2. Обозначим x = z и найдем решения неравенства

z^2 - z– 2 <= 0.

Получим -1 <= z <= 2. Левое неравенство выполняется, если только x существует. Остается x <= 2, т. е. 0 <= x <= 4.

Ответ. 0 <= x <= 4.

10.28. Перепишем неравенство в виде

3x(3 + x– 2x^2) - 2(-2x^2 + x + 3) < 0,

или

(3x– 2)(-2x^2 + x + 3) < 0.

Последнее неравенство [20] равносильно совокупности систем

Решая первую систему, получим

Так как -1 < 

20

Хотя метод интервалов был изложен во введении применительно к многочленам, им можно пользоваться при решении более широкого класса неравенств. В частности, для этого неравенства получаем

(3x– 2)(x + 1)(x– 3/2) >0.

Первый множитель обращается в нуль при  причем он больше нуля при  и меньше нуля при  Нанесем точки -1,  и 3/2 на числовую ось и воспользуемся тем обстоятельством, что при x > 3/2 все три скобки положительны. Так как, кроме того, x >= 0, окончательно получим

Вторая система дает нам следующее:

Ответ.

10.29. Если x > 0, то неравенство равносильно такому:

(x– 1)2x– 1/3 - x < 0, т. е. (x– 1)(x– 1/2 )/x– 3 > 0.

Воспользовавшись методом интервалов, получим 1/2 < x < 1, x > 3. Если x = 0, то левая часть неравенства обращается в выражение 0– 1/3 , которое не имеет смысла.

При x < 0 показатель степени должен быть целым числом, т. е. 2x– 1/3 - x, откуда x(2 + n) = 3n + 1. Так как при n = -2 последнее уравнение не удовлетворяется, то

x = 3n + 1/2 + n.

Из условия x < 0 находим x = 3n + 1/2 + n < 0 и, следовательно, -2 < n < - 1/3 . Единственное целое число в этом интервале n = -1, а соответствующее ему значение неизвестного x = -2. Проверяем это значение, подставляя его в первоначальное неравенство: (-2)– 1 < 1.

Ответ. x = -2, 1/2 < x < 1, x > 3.

10.30. Предположим, что основание больше единицы, т. е. 4x^2 + 12x + 10 > 1, или (2x + 3)^2 > 0. Это имеет место при всех x, кроме x = -3/2. При x = -3/2 основание равно единице, и, следовательно, исходное неравенство удовлетворяется. Если же x /= -3/2, то оно равносильно неравенству

|х^3 - 5х + 2| >= x - 2,

которое заведомо удовлетворяется при x - 2 <= 0, т. е. при x <= 2. Пусть теперь x > 2. Разложим трехчлен на множители:

|х^3 - 5х + 2| = |х^3 - 4x– (x– 2)| = |x– 2| |х^2 + 2x– 1| = (x– 2)|х^2 + 2x– 1|.

Так как x > 2, то получаем равносильное неравенство

|х^2 + 2x– 1| >= 1,

а поскольку x^2 + 2x– 1 = x^2 + 2(x– 1/2 ) > 0, то

х^2 + 2x– 1 >= 1, или x^2 + 2(x– 1) >= 0.

Последнее неравенство удовлетворяется при любом x > 2.

Ответ. x– любое действительное число.

10.31. Так как x > 0, то вместо неравенства

можно написать

Если а > 1, то при логарифмировании по основанию а знак неравенства не изменится:

(logа x)^2 > 2,

откуда loga x < -2, loga x > 2, т. е.

Если 0 < а < 1, то (loga x)^2 < 2 и

Ответ. При 0 < a < 1, 

10.32. Если x > 0, то получаем неравенство, равносильное данному:

откуда 0 < x < 1.

Значение x = 0 удовлетворяет исходному неравенству. Если же x < 0, то непременно

5x + 2/5x + 10 =n,

где n — целое. Из условия x < 0 находим

x = 10n– 2/5 - 5n < 0,