Чтение онлайн

Остается выяснить, какие значения x удовлетворяют уравнению

(4)

Это уравнение равносильно совокупности двух систем:

Поскольку в первой системе x = 1, то x /= 2; остается обеспечить, чтобы а– 1 >= 0, т. е. а >= 1.

Итак, при каждом а >= 1 есть решение x = 1, а при каждом x /= 2 есть решение x = а. (При а = 1 эти решения совпадают.)

Решение второй системы при а /= 2: x = а. Остается объединить решения неравенства (3) и уравнения (4).

Ответ. При а <= 1 имеем x = а; при 1 < а < 2 имеем 1 <= x <= а; при а = 2 имеем 1 <= x < 2; при а > 2 имеем 1 <= x <= 2, x = а.

10.50. Поскольку

х^2 + 8х + 15 = (x + 3)(x + 5), а x^2 + 7х + 10 = (x + 2) (x + 5),

то данное неравенство можно записать в виде

(x + 5)[(x + 3) · 22 + x– (2 + x)] > 0. (5)

При x + 5 = 0 исходное неравенство не удовлетворяется. Поэтому (5) равносильно совокупности двух систем:

Далее придется рассмотреть случаи x + 3 < 0 и x + 3 > 0 (при x + 3 = 0 неравенство (3) удовлетворяется!). Располагая точки x = -5 и x = -3 на числовой оси, мы получим три интервала x <– 5; -5 < x < -3; x > -3. Соответственно, приходим к совокупности трех систем неравенств:

Построим графики функций

y1 = 22 + x, y2 = 1 - 1/x + 3

(рис. P.10.50).

Просто сослаться на график и указать интервалы решений нельзя. График подскажет, какие сравнения нужно привести для решения неравенства.

При всех x <– 5 получим, что y2 > 1, а y1 < 1, т. е. y1 < y2: второму неравенству первой системы значения x < -5 не удовлетворяют.

При -5 < x < -3 также y1 < 1, а y2 > 1 и снова y1 < y2. Однако на этот раз второе неравенство второй системы удовлетворяется.

При x > -3 второе неравенство третьей системы вновь удовлетворяется. В самом деле, при -3 < x < -2, y1 > 0, а y2 < 0, т. е. y1 > y2. Далее при x >= -2 имеем у1 >= 1, 0 < y2 < 1, т. е. снова у1 > y2. Остается вспомнить, что x = -3 было решением (5).

Ответ. x (-5; +).

10.51. Ясно, что подставлять интересующие нас значения x в данное неравенство и проверять, удовлетворяется ли это, не нужно. Проще это неравенство решить. Так как lg 5 /= 1/2 , то |0,5 - lg 5| > 0, т. е.

Любое число а ^ 0 можно записать в виде а = |а| sign а, где

— функция, соответствующая знаку числа а. Поэтому из (6) получаем

Определим теперь знак выражения

0,5 - lg 5 = lg 10 - lg 5 = lg 10/5 < lg 4/5 < lg 1 = 0.

Следовательно, sign (0,5 - lg 5) = -1, т. е. решением неравенства (6) будут значения x <= -1.

Ответ.– 4, -1.

10.52. Так как (5 + 2)(5 - 2) = 1, то данное неравенство можно преобразовать к виду

(7)

Знаменатель всегда положителен, если x >= 0. Требование x >= 0 сохраняется, если существует числитель. Поэтому (7) равносильно неравенству

(5 - 2) x + x– 6 <= 1. (8)

Поскольку 0 < 5 - 2 < 1, то (8) равносильно неравенству

x + x– 6 >= 0. (9)

Трехчлен y^2 + y– 6 (где y = x) имеет корни -3 и 2. Поэтому решением неравенства

y^2 + y– 6 >= 0

будет совокупность значений y <= -3, y >= 2. У неравенства x <= -3 решений нет. Остается x >= 2, т. е. x >= 4.

Ответ. [4, +).

10.53. Обозначим log2x = y и запишем неравенство в виде

1 + y^2 <= |y| (4x– x^2 - 2),

или

1 + y^2 <= |y| [-(x^2 - 4x + 4) + 2],

т. е.

1 - 2|y| + |y^2| <= |y|(-x^2 + 4x– 4).

Итак,

(1 - |y|)^2 <= -|y|(x– 2)^2.

Неравенство удовлетворяется только в том случае, если обе его части равны нулю. Это может быть только при |y| = 1, тогда (x– 2)^2 <= 0, т. е. x = 2.