Чтение онлайн

y^2 + y– 6 = 0,

откуда y1 = -3, y2 = 2.

Если log3 (3x– 1) = -3, то 3x = 28/27 и x1 = log3 28 - 3. Если log3 (3x– 1) = 2, то 3x = 10 и x2 = log3 10.

Ответ. log3 28 - 3, log3 10.

11.11. Перепишем уравнение в виде

log7 x + logx 7 = log^27 x + log^2x 7 - 7/4.

Дополним правую часть его до полного квадрата суммы (заметим, что log7 x · logx 7 = 1) и обозначим

log7 x + logx 7 = y.

Получим уравнение:

4у^2 - 4у– 15 = 0, откуда у1 = 5/2, y2 = -3/2.

Если logx 7 + log7 x = 5/2, то

Если же logx 7 + log7 x = -3/2, то получим уравнение

y которого нет действительных корней.

Ответ. x1 = 49, x2 = 7.

11.12. Прологарифмируем по основанию 3 и перейдем к общему основанию логарифмов:

откуда следует уравнение

y^3 - 2y + 1 = 0,

где y = log3 x.

Так как у^3 - 2y + 1 = (y– 1)(y^2 + y– 1), то

y1 = 1, y2,3 = – 1 ± 5/2.

Находим соответствующие x и проверяем их.

Ответ. x1 = 3, x2,3 = 3.

11.13. Если

y = logх 3,

то придем к уравнению

из которого получается цепочка следствий

Проверкой убеждаемся, что второе значение y не удовлетворяет исходному уравнению, так как y должен быть отрицательным.

Ответ. x = 1/9.

11.14. Приведя уравнение к общему знаменателю и отбросив его, получим следствие данного уравнения:

log4 x + log4(10 - x) = 2,

откуда

x^2 - 10x + 16 = 0, x1 = 2, x2 = 8.

Проверкой убеждаемся, что это — корни исходного уравнения.

Ответ. x1 = 2, x2 = 8.

11.15. Перепишем данное уравнение так:

При этом преобразовании мы могли потерять корень, так как при x = 1 левая часть полученного уравнения теряет смысл, в то время как обе части исходного уравнения существуют. Проверкой убеждаемся, что x = 1 — корень данного уравнения [21] .

Преобразуем выражения, стоящие в знаменателях и обозначим logx 2 = y:

1/1 - y– 21/4y + 1 + 10/2y + 1 = 0.

Это уравнение равносильно системе

При y = -2 и y = 1/2 , являющихся корнями уравнения, условие, входящее в систему, удовлетворяется.

Ответ. x1 = 1, x2 = 1/2, x3 = 4.

11.16. Перепишем уравнение в виде

Так как

то придем к уравнению

log2 6 - log2 (4 - x) = log2 (3 + x),

откуда

х^2 - x– 6 = 0, x1 = -2, x2 = 3.

Все применявшиеся преобразования приводили к следствию исходного уравнения. Первый корень при проверке отбрасываем, так как

Ответ. x = 3.

11.17. Уравнение равносильно системе

или

Решим уравнение, после чего проверим, выполняются ли наши ограничения. Уравнение распадается на два. Если

x4 + 2x^3 + 2x– 1 = (х^2 + x– 1)^2,

то, раскрывая скобки, получим

х^2 + 4x– 2 = 0, x1,2 = -2 ± 6.

Если же

x4 + 2x^3 + 2x– 1 = -(х^2 + x– 1)^2,

то