Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
x^2(2x^2 + 4x– 1) = 0; x3 = 0, x4,5 = – 2 ± 6/2.
Остается проверить выполнение двух условий, входящих в последнюю систему. Лишь при x = 0 нарушается условие |х^2 + x– 1| /= 1. При остальных найденных значениях x оба условия выполняются.
Ответ. x1,2 = -2 ± 6; x3,4 = – 2 ± 6/2.
11.18. Преобразуем первое слагаемое:
При переходе к логарифмам с основанием а мы наложили на а дополнительное ограничение: а /= 1. Однако при а = 1 данное нам уравнение не имеет решений, и, следовательно, такое ограничение несущественно. При замене
Мы получили уравнение относительно
y^2 - 5у + 6 = 0; y1 = 2, y2 = 3,
откуда
Ответ. При
11.19. Логарифмируя и заменяя logx а на
т. е.
Отсюда видно, что если x удовлетворяет этому уравнению, то loga x > 0, а потому loga x + 1 > 0. Следовательно,
Чтобы разбирать меньшее количество различных случаев, оценим левую часть последнего уравнения и, следовательно, а. Так как
а второе слагаемое неотрицательно, то а > 1 (значение а = 1 мы исключили, так как а — основание логарифма). Остается рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть символ абсолютной величины.
При loga x >= 1, т. е. при x >= а > 1, получим уравнение
Так как а > 1, то x > а.
При 0 < loga x < 1, т. е. при x < а, получим второе значение неизвестного:
которое будет меньше а, так как а > 1.
Ответ. При
11.20. Если одно из неизвестных равно нулю, то в силу второго уравнения системы равно нулю и второе неизвестное. Это приводит к потере смысла в первом уравнении. Таким образом, x и y оба положительны.
Прологарифмируем оба уравнения:
Так как x > 0 и y > 0, то разделим первое уравнение на второе:
а потому
Подставим найденное значение x в первое из данных уравнений:
Если y = 1, то из первого уравнения системы получаем x = 1, что не удовлетворяет второму уравнению.
Так как значения y = 0 и y = -1 исключены, то остается
Вспомнив, что log3 15 = 1 + log3 5, получим
и найдем x.
Ответ.
11.21. Возведем второе уравнение в степень y
1024 = (2x/3)2y
и воспользуемся тем, что xy = 243. Так как 1024 = 210, а 243 = 35, то получим
210 = ( 2/3 )2y · 310, откуда ( 2/3 )10 = ( 2/3 )2y
и y = 5. Из первого уравнения находим x = 3.
Делаем проверку и убеждаемся, что мы нашли решение системы.
Ответ. (3, 5).
11.22. Из самого вида системы следует, что x > 0, y > 0. Из второго уравнения имеем
а после подстановки в первое
Если y /= 1 (случаи y = 0 и y = -1 уже исключены), то, приравнивая показатели степеней, получим
Подставляя в первое уравнение, найдем
откуда получаем x1 = 16/81, у1 = 4/9. Проверкой убеждаемся, что это — решение исходной системы.
Остается проверить, что произойдет при y = 1. Легко видеть, что тогда и x = 1.
Ответ. (16/81, 4/9), (1, 1).
11.23. Так как
то
Подставив в первое уравнение исходной системы и обозначив
(21 - 2u)(16 - u) - 2u^3 = 71,
а после раскрытия скобок
u = 5, т. е. y = 2.
Остальные неизвестные находятся легко.
Ответ. (2, 2, 1).