Чтение онлайн

или

т. е. равенство

являющееся неабсолютным тождеством.

Остается рассмотреть исключенные значения параметра а. Если а = (2n + 1)/2, то приходим к равенству tg x + ctg x = b– 1, являющемуся неабсолютным тождеством. Когда а = 3/4 + n, то tg а = -1 и, следовательно, b = tg а = -1. При этом исходное равенство принимает вид

tg x + ctg (x– /4) + tg x ctg (x– /4) = -1.

Оно является неабсолютным тождеством, так как при /4 < x < /2 функции tg x и ctg (x– /4) положительны, а потому левая часть равенства не может быть равна -1.

Ответ. а = /4 + n, b = 1.

13.43. Оценим левую часть уравнения:

С увеличением cos^2 2x это выражение растет. Поэтому оно будет достигать своего минимума, когда cos^2 2x = 0. Таким образом, левая часть уравнения не может стать меньше 12,5.

Поскольку правая часть не может превзойти 12,5, то получаем систему

Ответ.

13.44. Представив данное уравнение в виде

sin 2x– sin x cos 2x = 3/2,

оценим левую часть. Чтобы оценить выражение

A sin 2x + В cos 2x,

его нормируют, т. е. представляют в виде

Выражение, стоящее в скобках, можно записать как sin (2x + ), т. е. оно не превосходит по абсолютной величине единицу. В нашем случае A = 1, В = -sin x. Поэтому

Так как левая часть рассматриваемого уравнения не превосходит 2, а правая часть равна 2, что больше 2, то данное уравнение не имеет корней.

Ответ. Нет решений.

13.45. Раскроем скобки и произведем перегруппировку членов:

(sin x cos x/4 + cos x sin x/4) - (2 sin^2 x + 2 cos^2 x) + cos x = 0,

т. е.

sin 5x/4 + cos x = 2.

Так как sin 5x/4 <= 1 и cos x <= 1, то последнее уравнение равносильно системе

Решения второго уравнения x = 2k подставим в первое уравнение. Выражение sin 5x/2 перепишем в виде sin (2k + 5x/2) = sin k/2, откуда следует, что sin 5x/4 = 1 лишь при k = 4n + 1.

Ответ. x = 2(4n + 1).

13.46. Введем новое неизвестное

Получим квадратное уравнение относительно y:

корни которого

Обозначим

т. е.

±z^2 + 4z– 5 = 0. (7)

Решая каждое из квадратных уравнений (7), найдем два действительных корня: z1 = -5, z2 = 1. Из них подходит только 2 = 1. Следовательно,

cos (x–  /4) = 1, откуда x = /4 + 2n.

Остается сделать проверку, которая осуществляется непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Ответ. x = /4 + 2n.

13.47. Система уравнений может быть переписана так:

Если cos x = 0, то x = (2k + 1)/2 и, следовательно, cos 7x = 0. Поэтому первое уравнение равносильно уравнению cos 7 x = 0, т. е.

2 cos^2 7x/2 = 1 и cos^2 7x/2 = 1/2 .

Возведя второе уравнение системы в квадрат, получим теперь, что одновременно и cos^2 x/2 = 1/2 . Таким образом, исходная система уравнений равносильна совокупности двух систем

в которых множество решений вторых уравнений входит в множество решений первых. (Докажите.) Это означает, что система сводится к совокупности двух вторых уравнений

cos x/2 = ±1/2, т. е. cos^2 x/2 = 1/2 ,

откуда cos x = 0 и x = (2k + 1)/2. Из найденной серии чисел отбираем те, которые удовлетворяют ограничению |x| < 5.

Ответ. x = ±/2, ±3/2.

13.48. Преобразуем левую часть уравнения, пользуясь тем, что tg x = sin x/cos x, tg^2 x = 1/cos^2 x – 1, а cos x /= 0: