Чтение онлайн

Для правой части уравнения получим

При cos x /= 0 и дополнительном ограничении cos 2x /= 0 приведем исходное уравнение к виду

2 sin x cos 2x + sin x = 2 + cos 6x/5.

Произведение 2 sin x cos 2x преобразуем в разность синусов. Тогда в левой части останется только sin 3x (так как 2sin x cos 2x = sin 3x– sin x) и уравнение примет вид

sin 3x = cos 6x/5 + 2.

Такое возможно лишь при условии, что одновременно

cos 6x/5 = -1, а sin 3x = 1.

Поэтому данное в условии уравнение равносильно системе:

Не следует решать каждое из уравнений и отдельно записывать для них общие ограничения. Это не приведет к результату. Лучше начать с первого уравнения — его корни имеют простую запись, а затем отсеивать из решений первого уравнения те, что не удовлетворяют остальным требованиям. Итак, из уравнения cos 6x/5 = -1 найдем, что

6x/5 = (2k + 1), т. е. x = 5(2k + 1)/6.

Проверим, чему равняется при найденных x значение sin 3x. Поскольку

3x = 5(2k + 1)/2 = 5k + 5/2,

то найти sin 3x мы сможем, рассмотрев две возможности: k = 2n, k = 2n + 1.

При k = 2n, т. е. k — четном

3x = 10n + 5/2 = 10n + 2 + /2.

Мы выделили период и поэтому sin 3x при k = 2n равняется sin /2 = 1, т. е. второе уравнение системы удовлетворяется. Если же k = 2n + 1, т. е. k — нечетное, то

3x = 5(2n + 1) + 5/2 = 10n + 5 + 2 + /2 = 10n + 4 + + /2,

т. е. sin 3x = -1. На этот раз второе уравнение системы не удовлетворяется.

Обоим уравнениям удовлетворяют значения x = 5(4n + 1)/6. (Мы просто подставили k = 2n в найденное выше выражение для x.)

Перейдем к ограничению cos x /= 0. Преобразуем выражение для x:

x = 20n/6 + 5/6 = 10n/3 + 5/6.

Чтобы при разных n вычислить cos x, нужно рассмотреть случаи n = 3m, n = 3m + 1, n = 3m– 1. (Обратите внимание, что вместо n = 3m– 1 можно рассматривать n = 3m + 2, но n = 3m– 1 удобнее.)

Для n = 3m получим

x = 10m + 5/6, cos x = cos 5/6 /= 0;

при n = 3m + 1:

x = 103m + 1/3 + 5/6 = 10m + 10/3 + 5/6 = 10m + 25/6 = 100 + 4 + /6,

т. е. cos x = cos /6 /= 0,

при n = 3m– 1:

x = 103m - 1/3 + 5/6 = 10m– 10/3 + 5/6 = 10m– 15/6 = 10m– 2 - /2,

т. е. cos x = cos (-/2) = 0.

Итак, значение n = 3m– 1 не подходит, а при остальных n ограничение cos x /= 0 удовлетворяется.

Остаются два варианта:

x = 5(12m + 1)/6, x = 5(12m + 5)/6, m = 0, ±1, ±2.

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что cos 2 x /= 0 для каждого из найденных значений.

Ответ. 5(12m + 1)/6; 5(12m + 5)/6.

13.49. Обе части уравнения существуют, если cos x /= 0, sin 2x /= 0, cos 2x /= 0.

Все эти ограничения равносильны условию sin 4x /= 0, поскольку

sin 4x = 2 sin 2x cos 2x = 4 sin x cos x cos 2x.

Если sin 4x /= 0, то все последующие преобразования правомерны. Преобразуем левую часть, воспользовавшись соотношениями:

tg^2 x + 1 = 1/cos^2 x, cos 3x + cos x = 2 cos 2x cos x.

Тогда

Так как cos 2x /= 0, cos x /= 0, то

4 cos^2 x– 1 = cos 3x/sin x.