Чтение онлайн

3 sin^3 x– cos^3 x– 2 sin x cos^2 x = 0.

Обозначим tg x через y, получим

3y^3 - 2y– 1 = 0, или (y– 1)(3y^2 + 3y + 1) = 0,

где квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Остается y = 1, т. е. tg x = 1, x = /4 + n. Однако cos 2x при x = /4 + n обращается в нуль.

Ответ. Нет решений.

13.17. С помощью формул универсальной подстановки придем к уравнению относительно y = tg x/2:

y(2y^3 - 7у^2 - 2y + 1) = 0.

В результате такой замены могли быть потеряны корни, так как tg x/2 теряет смысл при x = (2k + 1), в то время как sin x, cos x и tg x при этих значениях x имеют смысл. Проверкой убеждаемся, что эти значения неизвестного не являются корнями исходного уравнения.

Один корень полученного алгебраического уравнения очевиден: y = 0. Второй мы найдем на основании теоремы о рациональных корнях многочлена, испытав y = ±1; ± 1/2 . Убеждаемся, что y = - 1/2 — второй корень уравнения. Разделив многочлен 2y^3 - 7у^2 - 2y + 1 на 2y + 1, получим уравнение

y^2 - 4y + 1 = 0,

которое даст еще два корня: y = 2 + 3, y = 2 - 3.

Если tg x/2 = 2 + 3, то

то же самое мы получим и при tg x/2 = 2 - 3.

Так как и обратно из sin x = 1/2 следует, что

то совокупность уравнений tg x/2 = 2 + 3 равносильна уравнению sin x = 1/2 . Получаем x = k + (-1)k/6.

Ответ. 2k; k + (-1)k /6; 2k– 2 arctg 1/2 .

13.18. Понижением степени данное уравнение приводится к виду

2 cos x = 1 + cos 3x/2.

С помощью формул для косинуса двойного и тройного углов приходим к уравнению относительно y = cos x/2:

4y^3 - y^2 - 3y + 3 = 0.

Левую часть легко разложить на множители:

4у^2(y– 1) - 3(y– 1) = 0, (y– 1)(4у^2 - 3) = 0.

Если cos x/2 = 1, то x1, = 4n. Если 4 cos^2 x/2 = 3, то cos x = 1/2 и x2 = 2n ± /3.

Ответ. 4n; 2n ± /3.

13.19. Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках:

Теперь придем к виду, удобному для логарифмирования, правую часть уравнения:

22(1 + sin 2x + cos 2x) = 42 cos x(sin x + cos x) = 8 cos x sin (/4 + x). В итоге получаем уравнение

которое равносильно системе

Условие sin x sin (/4 - x) /= 0 подсказывает, что удобнее в левой части уравнения заменить sin 4x на его разложение, стоящее справа, чем наоборот. Сокращая после этого обе части уравнения на 8 sin x sin (/4 - x) /= 0, получим уравнение

cos x cos (/4 - x)[sin (/4 + 2x) - 1] = 0.

Среди корней уравнений cos x = 0 и cos (/4 - x) = 0 не может быть таких, при которых sin x sin (/4– x) = 0. Остается проверить корни уравнения sin (/4 + 2x) = 1. Преобразуем вначале условие, которому они должны удовлетворять: sin x sin (/4– x) /= 0, или cos (/4– 2x) - cos /4 /= 0, т. е. cos (/4– 2x) /= 1/2, или sin (/4 + 2x) /= 1/2. Теперь ясно, что в уравнение sin (/4 + 2x) = 1 не попали посторонние корни.

Ответ. /2 + n; -/4 + n; /8 + n.

13.20. Перепишем данное уравнение в виде

т. е.

После возведения в квадрат (при этом могут появиться посторонние корни, для которых cos x > 0) получим квадратное уравнение относительно y = cos x:

y^2 - 4у– 4 = 0, т. е. y1,2 = 2 ± 2 2.

Положительный корень заведомо посторонний. Остается

cos x = 2 - 2 2.

Ответ. x = (2n + 1) ± arccos |2( 2 - 1)|.

13.21. Так как sin 4x = 4 sin x cos x(2 cos^2 x– 1), то данное уравнение можно переписать в виде