Чтение онлайн

 sin x + y/2 sin y– x/2 = 0.

Это будет совокупность прямых

x + y = 2k, y– x = 2n,

параллельных биссектрисам первого и второго координатных углов (рис. P.14.17), пересекающих оси координат в точках, координаты которых кратны 2. Сами эти прямые не удовлетворяют неравенству (2), однако они разбивают всю плоскость на квадраты, внутри каждого из которых произведение sin y + x/2 sin y– x/2 сохраняет постоянный знак.

Рассмотрим квадрат ОАВС, примыкающий к началу координат снизу. Для всех внутренних точек этого квадрата

sin y + x/2 < 0 и sin y– x/2 < 0,

т. е. неравенство (2) удовлетворяется. При переходе через границу квадрата в любой точке, кроме вершины, произойдет смена знака одного из сомножителей. При переходе же через вершину знак поменяется дважды. Таким образом, вся плоскость окажется разбитой на области, расположенные в шахматном порядке. Те области, в которых неравенство (2) удовлетворяется, заштрихованы.

Ответ.

15.1. Данное неравенство равносильно такому:

(logsin x 2)^2 < 2 logsin x 2 + 3.

Обозначив logsin x 2 = y, получим

y^2 - 2y– 3 < 0,

откуда

– 1 < y < 3, или -1 < logsin x 2 < 3.

Последнее неравенство эквивалентно системе

Первое из неравенств системы можно переписать так: 0 < sin x < 1/2 ·

Ответ. 2n < x < /6 + 2n; 5/6 + 2n < x < + 2n.

15.2. Пусть tg x = y. Тогда sin^2 x = y/1 + y, и данное неравенство можно переписать в виде

(докажите, что последнее преобразование не нарушает равносильности). При 0 < y < 1 и y > 1 получаем различные системы:

Их можно объединить в одну:

Второе неравенство можно решить методом интервалов

т. е. y > 1.

Итак, tg^2 x > 1, причем tg x > 0.

Ответ. /4 + k < x < /2 + k.

15.3. Так как выражения, стоящие под знаками логарифмов, должны быть положительными, то указанный в условии интервал можно сузить: 0 < x < /2. Данное неравенство равносильно системе

Второе неравенство перепишем в виде

sin^2 x + sin x– 1 < 0,

откуда

Учитывая, что в интервале 0 < x < /2 должно быть sin x > 0, получим

Ответ.

15.4. Данное неравенство можно переписать так:

log2 cos 2x + log2 sin x + log2 cos x + log2 8 < 0,

т. е.

Первое неравенство можно переписать в виде

sin 4x < 1/2 .

Два последних неравенства требуют, чтобы подвижный радиус угла x лежал в первой четверти, а неравенство cos 2x > 0 сужает эту область до первой половины первой четверти (на рис. P.15.4, а — заштрихованный сектор).

Остается выбрать решения неравенства sin 4x < 1/2 , лежащие в этих промежутках. Все решения неравенства sin 4x < 1/2 можно записать в виде

– 7/6 + 2n < 4x < /6 + 2n,

т. е.

– 7/24 + n/2 < x < /24 + n/2

(рис. P.15.4, а). В интересующий нас интервал 0 < x < /4 из этой серии частично попадут лишь два интервала: -7/24 < x < 13/24 (рис. P.15.4, б). Теперь нетрудно написать окончательный ответ.

Ответ. 2n < x < /24 + 2n; 5/24 + 2n < x < /4 + 2n.

15.5. Вместо данного неравенства можно написать 0 < |cos x + 3 sin x| < 1, что равносильно системе

Так как cos x + 3 sin x = 2 cos (x–  /3), то получим

В условии сказано, что 0 <= x <= 2, поэтому x–  /3 нужно искать в интервале -/3 <= x– /3 <= 2 - /3.