Чтение онлайн

т. е. каждое уравнение системы превращается в тождество.

Ответ.

где берутся или только верхние, или только нижние знаки.

Замечание. Найдя y = + 2n ± /3, можно было искать x с помощью подстановки. Однако это не избавило бы нас от необходимости делать проверку, так как в процессе решения уравнения возводились в квадрат.

13.38. Первое уравнение перепишем в виде

sin (x– y) - cos (x + y) = 2a.

Из второго найдем

cos (x + y) = cos [2 arcsin (a + 1/2 )] = 1 - 2 sin^2 [arcsin (a + 1/2 )] = 1 - 2(a + 1/2 )^2 = 1/2 - 2a^2 - 2a.

Следовательно,

sin (x– y) = 2a + cos (x + y) = 1/2 - 2a^2 = 1 - 4a^2/2.

Прежде чем решать систему

выясним, при каких а она имеет решение.

Первоначальная система накладывает на параметр а такие ограничения: |а| <= 1, | а + 1/2 | <= 1, где первое — следствие того, что в левой части первого уравнения стоит произведение синуса и косинуса, а второе — следствие определения арксинуса.

Поскольку при преобразованиях исходной системы равносильность не нарушалась, то нет необходимости учитывать первоначальные ограничения, так как они будут содержаться в ограничениях системы (4):

Итак, если параметр а лежит на интервале -3/2 <= а <= 1/2 , то систему (4) можно переписать в виде

Решая эту систему, найдем x и y. Остается сделать проверку.

Ответ. При -3/2 <= а <= 1/2

13.39. Обозначим tg^2 x = u, tg^2 y = v. Тогда в левой части уравнения получим u^2 + v^2 + 2/uv. Это выражение не может стать меньше, чем 2uv + 2/uv, так как u^2 + v^2 >= 2uv. Выражение 2uv + 2/uv тоже легко оценить:

2[uv + 1/uv] >= 4,

причем равенство в первом и во втором случаях достигается лишь при u = v = 1.

Таким образом, сумма, стоящая в левой части равенства, не может стать меньше 4, в то время как правая часть этого равенства не может превзойти 4. Остается единственная возможность: обе части равенства одновременно равны 4. Получаем систему

Второму уравнению удовлетворяют значения x = ±/4 + k, y = ±/4 + n, где знаки берутся в произвольных сочетаниях. Однако первое уравнение будет удовлетворяться только в том случае, когда в выражениях для x и y взяты одинаковые знаки.

Ответ.

13.40. Способ 1. Умножив sin^2 x на sin^2 3x + cos^2 3x = 1 и сгруппировав члены, содержащие sin^2 3x, получим

sin^2 x cos^2 3x + sin^2 3x(sin^2 x– sin x + 1/4 ) = 0,

или

sin^2 x cos^2 3x + sin^2 3x(sin x– 1/2 )^2 = 0.

Последнее уравнение эквивалентно системе

Корни первого уравнения найти нетрудно:

x1 — n, x2 = /6 + n/3.

Подставляя x1 во второе уравнение, убеждаемся, что оно удовлетворяется при этих значениях неизвестного. Подставляя во второе уравнение x2, получим

sin (/2 + n) [sin (/6 + n/3) - 1/2 ] = 0.

Так как первый сомножитель никогда не обращается в нуль, то последнее равенство можно записать так:

sin (/6 + n/3) = sin /6.

Воспользовавшись условием равенства синусов (если sin = sin , то либо - = 2k, либо + = (2k + 1)), получим

/3 + n/3 = (2k + 1), откуда n = 6k + 2,

и

n/3 = 2k, откуда n = 6k.

Таким образом,

x1 = n, x2 = /6 + 2k, x3 = 5/6 + 2k.

Способ 2. Перепишем уравнение в виде

4 sin^2 x– 4 sin x sin^2 3x + sin^2 3x = 0,

т. е.

(2 sin x– sin^2 3x)^2 + (sin^2 3x– sin4 3x) = 0.

Так как оба слагаемых неотрицательны, то

Из второго уравнения получим: либо sin 3x = 0 и x = n/3, либо |sin 3x| = 1 и x = /6 + n/3. Остается отобрать из этих решений те, которые удовлетворяют первому уравнению, что делается так же, как и в первом способе решения.

Способ 3. Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно sin x. Тогда

Чтобы уравнение имело действительные решения, необходимо и достаточно потребовать неотрицательности дискриминанта

sin^2 3x (sin^2 3x– 1) >= 0.

Выражение в скобках не может стать положительным. Следовательно, остается лишь две возможности: либо sin^2 3x = 0, либо sin^2 3x = 1. Если sin^2 3x = 0, то, подставляя в первоначальное уравнение, получим sin^2 x = 0, т. е. x = k. Если sin^2 3x = 1, то придем к квадратному уравнению