Чтение онлайн

sin^2 x– sin x + 1/4 = 0, откуда sin x = 1/2 .

Ответ. n; /6 + 2k; 5/6 + 2k.

13.41. Способ 1. Преобразовав данное уравнение к функциям от x + y/2 и x - y/2 и дополнив полученное таким образом выражение до полного квадрата, придем к уравнению вида

(2 cos x + y/2–  cos x– y/2)^2 + sin^2 x– y/2 = 0.

Это уравнение эквивалентно системе

Решая второе уравнение системы, найдем

x– y/2 = n,

откуда x– y = 2n, а x = y + 2n.

Подставляя найденное выражение для x в первое уравнение, получим

2 cos (y + n) - cos n = 0.

Число n может быть либо четным, либо нечетным. Если n = 2k, то уравнение примет вид 2 cos y– 1 = 0, откуда cos y = 1/2 .

При n = 2k + 1 получим -2 cos y + 1 = 0, откуда снова cos y = 1/2 . Таким образом,

y = 2m ± /3, а x = y + 2n = 2(n + m) ± /3.

В этом случае n + m можно рассматривать как новое целочисленное переменное и записать ответ следующим образом:

Способ 2. Преобразовав уравнение к виду A cos y + В sin y = 3/2– cos x, где A = 1 - cos x, В = sin x (причем A и В не равны нулю одновременно), оценим его левую часть

Чтобы данное уравнение имело решение, необходимо, чтобы

(1 - cos x)^2 + sin^2 x >= (3/2– cos x)^2

или

cos^2 x - cos x + 1/4 <= 0, т. е. (cos x– 1/2 ) <= 0.

Так как квадрат некоторого выражения не может быть отрицательным, то cos x = 1/2 , откуда

x = 2n ± /3.

Чтобы найти y, можно подставить найденные значения x в исходное уравнение. Однако достаточно заметить, что исходное уравнение симметрично относительно x и y. Следовательно, для второго неизвестного мы тоже получим

y = 2m ± /3.

Остается установить соответствие между найденными значениями x и y, что легко сделать проверкой, так как здесь нужно рассмотреть всего четыре различные возможности. Убеждаемся, что из четырех возможностей уравнению удовлетворяют только две, когда для x и y выбраны одинаковые знаки.

Ответ. x = 2n ± /3, y = 2m ± /3; где берутся либо только верхние, либо только нижние знаки.

13.42. Способ 1. Задача сводится к отысканию таких а и b, при которых равенство

tg x + tg (а– x) + tg x tg (а– x) = b является неабсолютным тождеством. Обозначив tg x = z и tg а = с (в предположении, что а /= /2 (2n + 1)), получим

Перенеся все в левую часть и приведя к общему знаменателю, получим

Это уравнение относительно z является неабсолютным тождеством тогда и только тогда, когда многочлен, стоящий в числителе, обращается в нуль при всех z, кроме, быть может, одного значения z, обращающего в нуль знаменатель левой части, что равносильно тождественному равенству нулю этого многочлена. Так как условием тождественного равенства многочлена нулю является равенство нулю всех его коэффициентов, то получим с = 1, b = 1, т. е. b = 1, а = /4 + k. Случай а = (2n + 1)/2 приводит к равенству tg x + ctg x = b– 1, которое является неабсолютным тождеством.

Способ 2. Равенство

tg x + tg (а– x) + tg x tg (а– x) = b

должно удовлетворяться тождественно по отношению к x. Положив x = 0, получим, что либо tg а = b, либо tg а не существует, т. е. а = (2n + 1)/2. Аналогично для x = /4 получим, что либо tg (а– /4) = b– 1/2, либо а– /4 = /2 + n, т. е. а = 3/4 + n.

Итак, если а /= (2n + 1)/2 и а /= 3/4 + n, то получаем систему, которой должны удовлетворять а и b:

tg а = b, tg (а– /4) = b– 1/2.

Заменив во втором уравнении b на tg а, перепишем его в виде

откуда tg а = 1. Таким образом, b = 1, а = /4 + n. Проверим, будет ли при этих значениях а и b равенство, написанное в начале решения, неабсолютным тождеством. После подстановки получим

tg x + tg (/4 + n– x) + tg x tg (/4 + n– x) = 1