Чтение онлайн

Поскольку 2 cos^2 x = 1 + cos 2x и sin x /= 0, получим

2 cos 2x sin x + sin x = cos 3x,

или

sin 3x– sin x + sin x = cos 3x,

т. е. tg 3x = 1, откуда 3x = /4 + k = /4(4k + 1), k = 0, ±1, ±2, или x = /12(4k + 1).

Теперь нужно позаботиться о соблюдении ограничения sin 4x /= 0, т. е. 4x /= n, x /= n/4.

Равенство

/12(4k + 1) = n/4, или /3(4k + 1) = n, (8)

может иметь место, когда 4k + 1 делится на 3. Поэтому рассмотрим три случая: k = 3m, k = 3m + 1, k = 3m– 1. Тогда для 4k + 1 получим

4(3m) + 1 = 12m + 1,

4(3m + 1) + 1 = 12m + 5,

4(3m– 1) + 1 = 12m– 3 = 3(4m– 1).

Последний из вариантов должен быть исключен, так как именно в этом случае равенство (8) имеет место.

Ответ. /12(12m + 1); /12(12m + 5).

13.50. Представим уравнение в виде

2(tg x + ctg 2x) + (tg x/2 + ctg 2x) + (ctg 2x– ctg 3x) = 0.

Преобразуем

(Сокращение на cos x возможно, так как ограничение cos x /= 0 остается благодаря наличию множителя cos x в знаменателе sin 2x.)

Аналогично

(Во второй дроби sin x– общий множитель числителя и знаменателя. Однако сокращать на него не следует, хотя это и возможно).

Таким образом, уравнение примет вид:

После сложения дробей в скобках получим числитель, который, шаг за шагом, преобразуем:

Итак, данное уравнение преобразовано к равносильному ему:

Нужно найти корни числителя, при которых знаменатель не обращается в нуль. Сомножитель cos x /= 0, так как в знаменателе есть sin 2x = 2 sin x cos x. Второй сомножитель тоже не равен нулю, так как входит множителем и в числитель, и в знаменатель. Остается sin 5x/2 = 0, что имеет место при 5x/2 = k, т. е. при x = 2k/5, где k = 0, ±1, ±2.

Отсеим из этого множества чисел значения, при которых знаменатель обращается в нуль. Это будет, когда k делится на 5, т. е. k = 5n.

При остальных k, т. е. при k = 5n ± 1 и k = 5n ± 2 знаменатель в нуль не обращается.

Ответ. 2(5n ± 1)/5, 2(5n ± 2)/5.

13.51. Ограничения sin t /= 0 и cos t /= 0 объединяет условие sin 2t /= 0. Учтем, что

sin 3t– sin t = 2 sin t cos 2t, ctg^2 t + 1 = 1/sin^2 t.

Тогда уравнение (мы учли, что sin 2t /= 0) примет вид

или

Так как 2 cos^2 t = 1 + cos 2t, а 2 sin^2 t = 1 - cos 2t, то после сокращения дроби в левой части уравнения на cos 2t получим

cos t = 1/2 cos 2t– 1,

где cos 2t /= 0.

Если cos 2t /= 1/2 , то

2 cos 2t cos t– cos t = 1,

или

cos 3t + cos t– cos t = 1,

т. е. cos 3t = 1 и t = 2k/3 , k = 0, ±1, ±2, ... .

Остается учесть все ограничения:

sin 2t /= 0, cos 2t /= 0, cos 2t /= 1/2 .

Условия sin t /= 0, cos t /= 0, cos 2t /= 0 можно объединить: sin 4t /= 0. Из значений неизвестного t = 2k/3 нужно исключить те, при которых имеет место одно из равенств: sin 4t = 0 или cos 2t = 1/2 . Первое равенство будет иметь место, когда k делится на 3, т. е. k = 3n. Остаются две возможности: k = 3m + 1 и k = 3m– 1. Итак, остались для проверки значения:

t = 2(3m + 1)/3 и t = 2(3m - 1)/3.

Среди них не должно быть таких, что cos 2t = 1. Вычислим cos[2(3m + 1)/3] и cos[2(3m– 1)/3]

cos[2(3m + 1)/3] = cos (2m + 2/3) = cos 2/3 = - 1/2 ,

cos[2(3m - 1)/3] = cos (2m - 2/3) = cos (-2/3) = - 1/2 .

Ответ. 2(3m ± 1)/3. 

14.1. Неравенство равносильно такому:

sin^2 x > cos^2 x,

т. е.