Чтение онлайн

2 y^2 - 2y + 2 - 2 < 0.

Разделив на 2, получим неравенство

y^2 - 2 y + 2 - 1 < 0,

откуда

2 - 1 < tg x < 1.

Из интервалов, в которых лежит x:

arctg (2 - 1) + n < x < /4 + n,

выбираем решения, лежащие в (0, 2).

Ответ. arctg (2 - 1) < x < /4; + acrtg (2 - 1) < x < 5/4.

14.8. Дискриминант трехчлена равен

(2 cos - 1)^2 - 4 cos^2 + 10 cos - 4 = 6 cos - 3.

Чтобы уравнение имело различные действительные корни, нужно потребовать

6 cos - 3 > 0; т. е. cos > 1/2 ,

откуда 0 <= < /3 (в условии сказано, что 0 <= <= ).

Свободный член сравним с нулем:

2cos^2 - 5cos + 2 0.

Так как корнями трехчлена 2y^2 - 5у + 2 будут числа 1/2 и 2, то свободный член будет положителен при cos < 1/2 и отрицателен при cos > 1/4 . Мы уже выяснили, что должно иметь место второе неравенство; таким образом, исходное уравнение имеет корни разных знаков.

Поскольку x1 + x2 = 2cos - 1, что при cos > 1/2 больше нуля, то положительный корень имеет большую абсолютную величину.

Ответ. Данное уравнение имеет два различных действительных корня при 0 <= < /3. Эти корни имеют разные знаки, причем положительный корень больше по абсолютной величине.

14.9. Если sin x >= 0 и cos x >= 0, то данное неравенство равносильно такому:

Так как при sin x >= 0 и cos x >= 0 имеем

sin x + cos x >= 1,

а при sin x > 0 и cos x > 0 это неравенство становится строгим, то отсюда следует, что неравенство (1) равносильно системе

Ответ. 2n < x < /2 + 2n.

14.10. Данное неравенство означает, что

 /4 + k <= 1/1 + x^2 < /2 + k.

Если k > 0, то левое неравенство не имеет решений, поскольку 1/1 + x^2 не превосходит единицы. Если k < 0, то не имеет решений правое неравенство, так как 1/1 + x^2 — величина, положительная при всех x. Остается случай k = 0. При k = 0 правое неравенство удовлетворяется всегда. Решим левое неравенство.

Ответ.

14.11. Так как sin x + cos x = 2 cos (x– /4), то, обозначив cos (/4– x) = y, получим неравенство

Это неравенство равносильно такому:

Так как y не превосходит 1, то 2 - y > 0. Поэтому y > 3/4 .

Решением неравенства cos (/4– x) > 3/4 будут значения x– /4, лежащие между 2k– arccos 3/4 < x < 2k + arccos 3/4 .

Ответ. 2k + /4– arccos 3/4 < x < 2k + /4 + arccos 3/4 .

14.12. Перепишем неравенство в виде

Преобразуем знаменатель

cos x cos 3x = 1/2 (cos 2x + cos 4x) = 1/2 (cos 2x + 2 cos^2 2x– 1)

и введем обозначение cos 2 x = y. Получим

откуда y < -1, 0 < y < 1/2 и, наконец, 0 < cos 2x < 1/2 .

Ответ:– /4 + n < x < -/6 + n; /6 + n < x < /4 + n.

14.13. Пусть y = cos x, где |y| <= 1. Выражение 17/7– cos x всегда положительно. Поэтому обе части данного неравенства можно возвести в квадрат; получим равносильное неравенство

Когда правая часть отрицательна, придем к системе

решением которой будут значения y > 5/14·

Когда правая часть неотрицательна, то получим другую систему

Второе неравенство этой системы можно переписать в виде

2 · 49у^2 - 7 · 27у + 25 < 0,

откуда

1/7 < y < 25/14, т. е. y > 1/7, так как y = cos x.

Решения всей системы будут лежать в интервале

1/7 < y <= 5/14

Объединяя его с интервалом y > 5/14, получим y > 1/7·

Ответ. – arccos 1/7 + 2n < x < arccos 1/7 + 2n.

14.14. Выразим sin x и cos x через tg x/2 и обозначим tg x/2 = y. Придем к неравенству