Чтение онлайн

Ответ. /4 + k < x <= /3 + k.

16.1. Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим немедленно следует, что правая часть данного уравнения не меньше двух. Однако его левая часть не может стать больше двух. Поэтому остается лишь одна возможность:

Последнее равенство достигается лишь при x^2 = 1, т. е. при x = ±1. Подставляя эти значения в левую часть первого уравнения, получим

2 sin^2 1/2 sin^2 1/6 < 2.

Таким образом, исходное уравнение не имеет решений.

16.2. Так как 1/cos^2 x = tg^2 x + 1, то уравнение можно переписать в виде

22 tg^2 x + 2 · 2tg^2 x– 80 = 0,

откуда

2tg^2 x = 8, tg^2 x = 3, tg x = ±3, x = n ±/3

(второе уравнение 2tg^2 x = -10 не имеет решений).

Ответ. n ±/3.

16.3. Так как в условие одновременно входят tg x и etg x, то мы можем воспользоваться неабсолютным тождеством ctg x = 1/tg x, не опасаясь нарушения равносильности. Получим уравнение

(tg x)sin x = (tg x)– cos x.

Если tg x < 0, то sin x и cos x– дробные числа, и обе части равенства теряют смысл. При tg x = 0 и sin x обращается в нуль, т. е. левая часть теряет смысл.

Если tg x > 0, но /= 1, то sin x = -cos x, откуда tg x < 0, что противоречит сделанному предположению. Остается tg x = 1, x = (4k + 1)/4.

Ответ. (4k + 1)/4.

16.4. Данное уравнение можно записать так:

sin (2x + 2x– 1) = 1/2 ,

откуда

2x + 2x– 1 = n + (-1)n /6, или 2x = 2n/3 + (-1)n /9.

Какое бы положительное число ни стояло в правой части, уравнение будет иметь решение.

Неравенство

2n/3 + (-1)n /9 > 0

выполняется при n >= 0.

Ответ. log2 [2n/3 + (-1)n /9], где n >= 0. 

16.5. Уравнение можно переписать так:

lg sin x + lg sin 5х + lg cos 4x = 0,

или в виде системы

Из первого уравнения следует, что |sin x| = 1, |sin 5х| = 1, |cos 4x| = 1 одновременно. С учетом ограничений придем к системе

Из первого уравнения x = /2 + 2n. Подставляем во второе и третье уравнения:

sin [5(/2 + 2n)] = sin /2 = 1, cos [4(/2 + 2n)] = cos 0 = 1.

Ответ. /2 + 2n.

16.6. Обозначив lg (sin x + 4) = y, получим уравнение

y^2 + 2y– 5/4 = 0,

y которого два корня: y1 = -5/2, y2 = 1/2 .

Для первого корня получим

lg (sin x + 4) = -5/2,

откуда

Так как

Для второго корня получим

lg (sin x + 4) = 1/2 ,

откуда

Так как

Ответ.

16.7. Данное уравнение эквивалентно системе

Уравнение можно преобразовать, если сгруппировать sin x и sin^3 x:

sin x (1 - sin^2 x) - 1/4 cos x = 0, или sin x cos^2 x– 1/4 cos x = 0.

Так как sin x > 0, то cos^2 x < 1, и любое решение уравнения

sin x cos^2 x– 1/4 cos x = 0

удовлетворяет неравенству

sin x– 1/4 cos x > 0.

Запишем уравнение в виде

cos x(sin 2x– 1/2 ) = 0.

Так как sin x /= 1 и sin x > 0, то cos x /= 0. Остается

sin 2x = 1/2 ,

откуда