Чтение онлайн

и вычтем полученное выражение из Sn:

Ответ.

20.9. Рассмотрим тождество [22]

(x + 1)5 = x5 + 5x4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1.

Положим в нем последовательно x = 1, 2, ..., n и сложим n полученных равенств:

25 + 35 + ... + (n + 1)5 = 1 + 25 + 35 + .. + n5 + 5(14 + 24 + ... + n4) + 10(1^3 + 2^3 + ... + n^3) + 10(1^2 + 2^2 + ... + n^2) + 5(1 + 2 + ... + n) + n.

После приведения подобных получим

откуда

Так как

то

Многочлен третьей степени, стоящий в скобках, имеет корень n = -2 и поэтому делится на 2n + 1.

Ответ. 1/30 n(n + 1)(2n + 1)(3n^2 + 3n– 1).

20.10. В n– й группе содержится n членов.

Пусть n четное. Подсчитаем число четных чисел, встречающихся во всех группах до n-й. Это число равно

2 + 4 + 6 + ... + (n– 2) = n(n– 2)/4.

Следовательно, последнее четное число, встречающееся до n– й группы, равно 2n(n– 2)/4 = n(n– 2)/2, а первое четное число, входящее в n– ю группу, равно n(n– 2)/2 + 2. Теперь можно найти сумму n последовательных четных чисел, начинающихся с n(n– 2)/2 + 2. Эта сумма равна

Пусть теперь n четное. Число нечетных членов, встречающихся до n– й группы, равно

1 + 3 + 5 + ... + (n– 2) = (n– 1)^2/4.

Последним нечетным числом, стоящим до n– й группы, будет (n– 1)^2/2– 1, а первым числом, входящим в n– ю группу, — число (n– 1)^2/2 + 1. Следовательно, сумма n последовательных нечетных чисел, начиная с (n– 1)^2/2 + 1, равна

Ответы можно объединить.

Ответ. n/2[n^2 + 3/2 + (-1)n 1/2 ].

20.11. Домножим Sn на 2 sin /2n:

После приведения подобных получим

Так как sin /2n /= 0 при натуральных n, то Sn = 0.

2 n

Ответ. 0.

20.12. Обозначим искомую сумму через S. Тогда

2S = 1 · 2 + 2 · 2^2 + 3 · 2^3 + ... + 100 · 2100,

2S– S = 100 · 2100– (1 + 2 + 2^2 + ... + 299) = 100 · 2100– (2100– 1) = 99 · 2100 + 1.

20.13. Пусть искомая сумма равна S. Разделим каждый член данного ряда на 2:

1/4 + 3/8 + 5/16 + 7/32 + ... = S/2

и вычтем полученный ряд из данного. Получим ряд:

1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...,

сумма которого равна 3/2. Однако, с другой стороны, его сумма есть ни что иное, как S - S/2 = S/2. Таким образом, S/2 = 3/2 и, следовательно, S = 3.

Ответ. 3.

21.1. Присвоим каждому из сидящих за круглым столом номер: а1, а2, ..., аn. Образовывая циклические перестановки: аn, а1, а2, ..., аn– 1; ап– 1, аn, а1, а2, ..., ап– 2 и т. д., мы будем получать тот же способ размещения за столом. Таких циклических перестановок можно составить n.

Кроме этого, нужно учесть, что сосед слева и сосед справа неразличимы, т. е. перестановки а1, а2, ..., ап и а1, аn, аn– 1, ..., а2 дают одно и то же размещение за столом. Так как всего возможно n! перестановок, из которых каждые 2n одинаковы, то искомое число равно

n!/2n = 1/2 (n– 1)!.

Ответ. 1/2 (n– 1)!.

21.2. Всего из пяти элементов можно составить Р5 перестановок. Среди них будет Р4, y которых на первом месте а1, и Р4, y которых на первом месте а2. Однако перестановки, y которых на первом месте а1, а на втором месте а2, попали и в первую, и во вторую группы. Таких перестановок Р3.