Избранные научные труды
Шрифт:
Однако мнимые трудности измерения импульса тотчас исчезнут при достаточно полном учёте протяженности электрического заряда пробного тела. Если ввести в качестве идеализации равномерное распределение зарядов, способное смещаться как твердое тело (допустимость такой идеализации будет обсуждена ниже), то электрические поля в объёме V при ускорении пробного тела в течение времени t могут достигнуть, самое большее, порядка величины x. В самом деле, согласно уравнениям Максвелла производные по времени от этих полей будут достигать, самое большее, порядка величины плотности тока, которая будет порядка x/t. Обратное электромагнитное воздействие этих полей на тело за время измерения t может поэтому привести к передаче импульса, не превышающей по порядку величины выражения
p
x
~
^2V
x
t
.
(25)
Сравнение формул (16) и (25) даёт, при учёте (18) и (20),
p
x
~
p
x
– 2
t
T
(26)
а отсюда следует, что при наперёд заданной точности измерения поля, характеризуемой величиной , обратное влияние электромагнитного поля на импульс пробного тела («отдача») будет пренебрежимо мало, если только взять t достаточно малым по сравнению с T. Это обстоятельство и является решающим при суждении о точности измерений поля; в силу него оказывается невозможным непосредственно учитывать при отдельных измерениях импульса влияние «отдачи» на баланс импульса и энергии. В частности, предложение Паули 1 определять передаваемые излучением импульс и энергию путём последующего измерения при помощи особого приспособления является невыполнимым; это будет так уже потому, что возникающие при измерениях импульса, сделанных в начале и в конце промежутка времени T поля излучения не могут быть отделены в должной мере друг от друга, по крайней мере в том случае, когда L > cT, а именно этот случай особенно важен для измерений поля. В следующих параграфах мы покажем в общем виде, что всякая попытка контроля над полем, возникающим от пробных тел, препятствовала бы использованию производимых при помощи их измерений поля.
1 См.: W. Pauli. Handbuch der Physik, 1933, Bd. 24/1, S. 257. (См. перевод: В. Паули. Общие принципы волновой механики. М.—Л., 1947. — Ред.)
Рассматривать пробные тела как непрерывные распределения зарядов, а не как точечные заряды важно, впрочем, не только для обсуждения поведения пробных тел во время измерения, но и для суждения о взаимном влиянии пробных тел, если их несколько. Ведь если не делать различия между неопределённостью в положении пробного тела, рассматриваемого как точечный заряд, и линейными размерами области, к которой относится измерение, то это будет означать произвольное допущение, чуждое проблеме измеримости. По этой причине нельзя признать правильными и выражения для произведения неопределённостей в Ex и Hy внутри одной и той же пространственно-временной области, полученные путём, рассмотрения точечных зарядов разными авторами (Гейзенбергом, с одной стороны, и Ландау и Пайерлсом, с другой). Эти выражения не только противоречат тому, что следует ожидать исходя из формального аппарата квантовой электродинамики (мы уже об этом говорили выше), но и не согласуются между собой за исключением частного случая, когда L ~ cT. В этом случае обе оценки дают выражение Q^2, которое получается из формального аппарата для порядка величины произведения дополнительных неопределённостей в двух по-разному усреднённых компонентах поля (пространственно-временная область усреднения для одной компоненты поля смещена по отношению к области усреднения для другой компоненты на отрезки порядка L и T). Что касается совпадающих пространственно-временных областей, то в этом случае указанное произведение неопределённостей тождественно равно нулю, и это представляет существенную черту формального аппарата теории. Физический смысл этого результата становится очевидным, если мы учтём равномерное распределение зарядов пробного тела, используемого для измерения Ex. В самом деле, представим себе, что смещение заряда dv, находящегося в элементе объёма вблизи точки P1, производит в точке P2 объёма V некоторое магнитное поле; но это поле равно и противоположно по знаку тому магнитному полю, которое возникает в точке P1, когда такое же смещение испытывает заряд dv, находящийся вблизи точки P2; поэтому возникающее в результате смещения пробного тела магнитное поле после усреднения по объёму V оказывается равным нулю.
Из сказанного можно сделать следующие выводы. Для изучения вопроса об измеримости поля чрезвычайно существенным является предположение, что используемые пробные тела ведут себя как равномерно заряженные твердые тела, причём для всякого наперёд заданного сколь угодно малого промежутка времени их импульсы могут быть измерены с точностью, связанной соотношением дополнительности (16) с неконтролируемыми смещениями, сопровождающими измерение. При этом вследствие конечной скорости распространения всех сил мы не можем, разумеется, иметь в виду обычную механическую идеализацию твердого тела, а должны представлять себе каждое пробное тело как систему отдельных тел достаточно малых размеров; измерение полного импульса этой системы должно выполняться так, чтобы все эти отдельные тела испытывали при таком измерении приблизительно одинаковое смещение. Требование это не встречает принципиальных препятствий, по крайней мере постольку, поскольку можно отвлечься от атомистической структуры пробных тел. Это связано с тем, что необходимые измерения импульсов могут быть полностью описаны на языке классической физики. Такое описание возможно как в том случае, когда речь идёт о процессе столкновения между пробным телом и подходящим твердым телом, воспринимающим удар, так и в том случае, когда измерения основаны на исследовании эффекта Допплера, происходящего при отражении излучения от пробного тела. Взаимодействие между пробным телом и телом, воспринимающим удар, может быть прослежено на классической основе в обоих случаях: в первом случае при условии, что масса тела, воспринимающего удар, достаточно велика, а во втором случае при условии, что пучок света, применяемый для измерения эффекта Допплера, содержит достаточно большое число световых квантов. В самом деле, сопровождающая измерение импульса утрата определённости в положении пробного тела связана исключительно с невозможностью проследить, параллельно измерению импульса, ход процесса соударения относительно данной пространственно-временной системы отсчёта. Характерная дополнительность в способах описания основана ведь в конечном счёте на том, что фиксация процесса относительно определённой системы отсчёта связана с передачей импульса и энергии необходимым для реализации этой системы отсчёта масштабам и часам 1.
1 См.: N. Bohr. Atomtheorie und Naturbeschreibung. Berlin, Springer, 1931. Этот вопрос рассмотрен автором подробнее в его венском докладе, который вскоре выйдет в свет. Там подробно рассматриваются также парадоксы, возникающие при интерпретации соотношения неопределённости с учётом теории относительности.
Во всяком описании остаётся некоторая неопределённость во времени t. Напомним, что согласно соотношению неопределённости величина t связана с неопределённостью E в величине энергии, которой обменялись во время соударения пробное тело и тело, воспринимающее удар, соотношением
E
·
t
~
h
.
(27)
Так как для обоих тел между энергией и компонентами количества движения (импульса) и скорости имеет место соотношение
dE
=
v
x
dp
x
,
(28)
то из предыдущего уравнения непосредственно следует, что
p
x
|
v
''
x
–
v
'
x
|
t
~
h
.
(29)
Для достаточно тяжёлого пробного тела входящее сюда изменение |v''x– v'x| его скорости при измерении импульса может считаться известным сколь угодно точно (мы об этом говорили выше). Но и тогда множитель
|
v
''
x
–
v
'
x
|
t
=
x
(30)
означает, очевидно, допуск в положении тела относительно фиксированной системы отсчёта, что находится в полном соответствии с соотношениями неопределённости (16). Из формулы (30) непосредственно вытекает условие
x
<
c
t
,
(31)
которое вместе с (16) даёт абсолютный нижний предел неточности px при измерении импульса за промежуток времени с верхним пределом t Но ввиду релятивистской инвариантности соотношений (16) и (27), а также (28) это обстоятельство не налагает каких-либо ограничений на формулировку и применимость принципа неопределённости. К тому же в нашей задаче допустимо при рассмотрении механической стороны вопроса пренебрегать всякими поправками на теорию относительности. В самом деле, если пользоваться достаточно тяжёлыми пробными телами, всегда окажется возможным устроить так, чтобы в течение всего процесса измерения скорости всех пробных тел оставались малыми по сравнению со скоростью света. Поэтому мы можем даже всегда рассматривать смещения x при измерениях импульса как малые величины по сравнению с соответствующим значением ct которое и само может быть сделано сколь угодно малым.
Возможность измерить полный импульс протяженного тела в течение наперёд заданного промежутка времени и с требуемой точностью, выражаемой формулами (16), обусловлена именно тем, что служащий для измерения импульса процесс может быть точно прослежен относительно данной пространственно-временной системы отсчёта. Так, полный импульс используемой в качестве пробного тела системы заряженных тел, его составляющей, может быть определён посредством одного-единственного столкновения. Для этого тело, воспринимающее удар, должно иметь особую конструкцию: оно должно приходить в соприкосновение со всеми частями пробного тела и каждой из них сообщать одинаковое ускорение в одно и то же время. Конечно, такое устройство предъявляет конструкции пробных тел и тела, воспринимающего удар, обширные требования, которые, однако, в принципе выполнимы, если только пренебрегать атомной структурой тел.
Рассматриваемое измерение полного импульса пробного тела можно, по-видимому, проще всего осуществить оптическим путём, если использовать эффект Допплера, например, следующим образом. Представим себе, что каждая составная часть пробного тела снабжена маленьким зеркалом, перпендикулярным направлению оси x представим себе также ряд других зеркал, закреплённых так, чтобы длина светового пути от источника излучения до каждой из составных частей пробного тела была одной и той же. С помощью надлежащего приспособления можно запустить пучок света длительности t, содержащий достаточно большое число световых квантов (это число должно быть весьма велико по сравнению с числом составных частей пробного тела). Тогда все эти составные части одновременно получат толчок и испытают ускорение, которое можно с заданной точностью считать одинаковым.
Покажем, что при помощи такого приспособления можно в самом деле определить полный импульс пробного тела с точностью, допускаемой соотношением (16). Для этого необходимо несколько подробнее рассмотреть взаимодействие между системой, составляющей пробное тело, и световым пучком. При упомянутом выше предположении о том, что скорость пробного тела мала по сравнению со скоростью света, мы получим для каждой из его составных частей
m
(
v