Чтение онлайн

S(G)

=

1

V2T2

h

3

 

T

dt

1

 

T

dt

2

 

V

dv

1

 

V

dv

2

x

x

2

t1t2

+

–

 

i

i

+1

x

x

cos[

x

(x

1

– x

2

)

+

y

(y

1

– y

2

)

+

z

(z

1

– z

2

)

–

(t

1

– t

2

)

]

x

x

dxdydz

.

(10)

Из формулы (10) можно усмотреть, что при заданном квантовом составе упомянутые флуктуации никогда не могут отсутствовать. Действительно, даже при i = 0, т. е. при полном отсутствии световых квантов, они принимают конечное положительное значение, которое можно после нетрудных вычислений привести к виду

S

0

(G)

=

2

3^2

hc

V^2

 

V

dv

1

 

V

dv

2

1

r^2[(cT)^2-r^2]

,

(11)

Для всякого другого распределения световых квантов, определяемого заданием плотности i, математическое ожидание квадрата флуктуации усреднённого значения компоненты поля будет больше, чем S0(G). С другой стороны, вытекающие из аппарата теории флуктуации усреднённых значений поля могут стать сколь угодно малыми, если предположить известными (хотя бы из прямых измерений) значения компоненты поля. Разумеется, в этом случае спектральная плотность световых квантов i уже не будет определённой величиной, и мы должны будем довольствоваться статистическими характеристиками этой плотности.

Для обсуждения возможностей измерения существенным является, далее, то обстоятельство, что выражение (11) справедливо не только для флуктуаций поля в пространстве, где нет световых квантов. Оно представляет квадрат флуктуации усреднённого значения поля также и в том более общем случае, когда источниками поля служат распределения токов и зарядов, допускающие классическое описание. В этом случае состояние поля однозначно определяется следующими требованиями: во-первых, математическое ожидание каждой компоненты поля должно совпадать с классическим значением этой компоненты; во-вторых, число световых квантов с заданным импульсом и поляризацией должно распределяться вокруг своего среднего значения n0 (которое можно оценить на основе принципа соответствия) по закону распределения вероятности

w(n)

=

n n0en0

n!

(12)

справедливому для независимых событий. Для флуктуаций поля в этом состоянии получается в результате простых вычислений как раз выражение (11). В силу особых свойств флуктуаций чёрного излучения оказывается далее, что и в общем случае поля заданного квантового состава добавление полей от каких-либо источников, допускающих классическое описание, не оказывает влияния на явления, связанные с флуктуациями.

Корень квадратный из выражения (11) может рассматриваться как некоторая критическая величина поля S в том смысле, что при рассмотрении усреднённых значений поля мы можем отвлечься от его флуктуаций только в том случае, когда эти усреднённые значения оказываются значительно большими, чем S. Для суждения о возможности проверки аппарата теории в собственно квантовой области приходится вводить ещё и другую критическую величину поля A. Эта последняя равна корню квадратному из произведения (8) дополнительных неопределённостей в значениях поля, усреднённых по двум областям, перекрывающим друг друга только отчасти, а именно взаимно смещенных в пространстве и во времени на величины порядка L и соответственно T. Для напряжённостей поля, значительно больших, чем A, мы возвращаемся, очевидно, к области применимости классической электромагнитной теории; в этой области все квантовые особенности аппарата теории теряют свое значение. Оценивая критические величины поля при помощи формул (8) и (11), мы приходим к выводу, что в случае L <= cT обе величины, A и S, оказываются одного порядка, а именно

A

~

S

~

hc

L·cT

.

(13)

В случае же L > cT оказывается

A

~

h

L^3T

1/2

; S

~

hc

L^2

.

(14)

Таким образом, в пределе, когда L >> cT критическое значение поля A будет гораздо больше, чем S, вследствие чего мы можем при проверке характерных выводов из аппарата теории в большой мере отвлечься от флуктуаций поля.

В дальнейшем мы будем сравнивать выводы, полученные в этом параграфе из аппарата квантовой электродинамики, с физическими возможностями измерения поля. Но прежде чем переходить к этому сравнению, мы хотели бы ещё подчеркнуть, что непротиворечивому толкованию этой теории никоим образом не препятствуют такие парадоксальные черты в её математической записи, как появление бесконечной нулевой энергии. В частности, этот последний парадокс (который, впрочем, может быть устранен 1 путём формального изменения в записи теории) не имеет прямого отношения к проблеме измеримости величины поля. В самом деле, определение электромагнитной энергии в заданной пространственно-временной области потребовало бы согласно теории поля знания компонент поля в каждой точке области; измерить же их в каждой точке невозможно. Физическое измерение энергии поля можно было бы осуществить только при помощи надлежащего механического приспособления, которое отделяло бы электромагнитные поля в заданной области пространства от остального поля так, чтобы энергию в этой области можно было бы потом измерить, применяя закон сохранения. Но подобное разделение полей вызвало бы вследствие взаимодействия с измерительным механизмом неподдающееся контролю изменение энергии поля в заданной области; наличие же такого изменения является существенным для разъяснения тех хорошо известных парадоксов, которые возникают при обсуждении флуктуаций энергии чёрного излучения 2.

1 См.: L. Rosenfeld, J. Solomon. Journ. d. Phys., 1931, 2, 139, а также: W. Pauli. Handbuch der Physik, 2-е изд., т. 24/1, 1933, стр. 255.

2 Cp.: W. Heisenberg. Leipziger Berichte, 1931, 83, 1.

§ 3. Предпосылки физических измерений поля

Измерение электромагнитного поля основывается по определению на передаче количества движения (импульса) тем или иным находящимся в поле электрическим и магнитным пробным телам. Квантовая теория требует здесь прежде всего осторожности в применении обычной идеализации, состоящей в том, что компонентам поля приписываются определённые значения в каждой пространственно-временной точке. Но помимо этого нужно учитывать, что дело идёт здесь всегда об усреднённых значениях этих компонент; мы имеем в виду как усреднение по промежуткам времени, необходимым для передачи количества движения, так и усреднение по объёмам, внутри которых распределены электрические заряды и магнитные полюса пробных тел. Разумеется, уже предположение о равномерном распределении заряда внутри пробного тела представляет собою идеализацию; однако эта идеализация, хотя и имеет лишь ограниченную применимость ввиду атомистической структуры всех материальных тел, тем не менее необходима для однозначного определения величин поля.

Чтобы остановиться на чем-нибудь определённом, рассмотрим измерение усреднённого значения компоненты Ex электрического поля по оси x усреднение берётся по объёму V и промежутку времени T. Для этого мы должны взять пробное тело с электрическим зарядом, равномерно распределённым с плотностью по объёму V; нам нужно будет найти значения p'x и p''x составляющей количества движения по оси x для начала t' и для конца t'' промежутка времени T. Тогда искомое усреднённое значение Ex определится из равенства