Избранные научные труды
Шрифт:
p
''
x
–
p
'
x
=
E
x
VT
.
(15)
При этом делаются следующие предположения: во-первых, промежутки времени, потребные для измерения импульса (пусть их порядок величины будет t), должны быть весьма малы по сравнению с T; во-вторых, смещения пробного тела, испытываемые им как вследствие измерения импульса, так и в результате ускорения, сообщаемого ему измеряемым полем за время T, должны быть малы по сравнению с линейными размерами объёма V.
Выбирая пробное тело достаточно тяжёлым, мы можем, очевидно, сколь угодно уменьшить его ускорение под действием поля. При измерении же импульса мы встречаемся с обстоятельствами, не зависящими от массы пробного тела. В силу соотношения неопределённости всякое выполненное с неточностью px измерение компоненты импульса px сопряжено с утратой x точности знания координаты данного тела, причём порядок величины x связан с px соотношением
p
x
x
~
h
.
(16)
содержащимся в формуле (6). Само по себе это обстоятельство не представляет, впрочем, ограничения для достижения точности в измерении поля, поскольку мы ещё можем распоряжаться значением плотности заряда. В самом деле, пренебрегая величинами t и x по сравнению с T и L, мы получаем из (15) и (16) для порядка величины неточности Ex в измерении поля значение
E
x
~
h
xVT
,
которое при сколь угодно малом x может быть сделано сколь угодно малым путём выбора достаточно большого значения .
Строго говоря, точность измерения поля зависит ещё от абсолютного значения самой величины В самом деле, даже если бы Ex было равно нулю, получаемое из (15) значение будет, при заданных допусках для t и x, обладать вследствие нерезкости границы области измерения неопределённостью, которая может превысить любое заданное значение, если Ex будет возрастать до бесконечности. Однако последнее обстоятельство отражает только ограничение, свойственное всем физическим измерениям, а именно тот факт, что для надлежащего выбора измерительных приборов необходимо наперёд знать порядок величины ожидаемых эффектов. В нашей задаче верхний предел интересующих нас эффектов определяется тем, что при возрастании значений компонент поля мы постепенно переходим в область применимости классической электромагнитной теории. Если взять случай L > cT особенно пригодный для проверки аппарата квантовой электродинамики, то критической в указанном отношении величиной поля будет
Q
=
h
VT
1/2
(18)
Это выражение совпадает с правой частью первой из формул (14), рассмотренных в предыдущем параграфе. Используя это обозначение, можно написать соотношение (17) в виде
E
x
~
Q
,
(19)
где
=
Q
x
(20)
есть безразмерный множитель, характеризующий точность измерения поля.
Требование, чтобы было мало по сравнению с единицей и чтобы вместе с тем x было мало по сравнению с L, означает, что полный электрический заряд тела должен состоять из весьма большого числа элементарных зарядов . Действительно, это число N, согласно (20), равно
N
=
V
=
QV
x
=
1
·
L
x
·
L
cT
1/2
·
hc
^2
1/2
(21)
и оно весьма велико, если выполняются перечисленные требования и если, как мы предполагали, L > cT. В формуле (21) последний множитель есть обратная величина корня квадратного из постоянной тонкой структуры, а малость этой постоянной представляет, как мы уже указывали во введении, существенную предпосылку основанной на принципе соответствия электронной теории. Как мы подчёркивали, измерение поля посредством элементарного заряда, взятого в качестве пробного тела, связано с большими ограничениями; это видно уже из формулы (21), если в ней положить N=1 1. Кроме того, предположение, что N велико, представляет необходимое условие физической осуществимости равномерного распределения заряда пробного тела по объёму V; и пока линейные размеры пробного тела остаются большими по сравнению с размерами атома, выполнение этого условия не представляет, очевидно, затруднений. Выше было использовано также допущение, относящееся к массе пробного тела; оно сводится к тому, что эта масса должна быть весьма велика по сравнению с массой светового кванта длины волны L. В предположении, что N велико, это допущение всегда выполнимо, и его можно было бы не оговаривать.
1 См.: V. Fock, Р. Jordan. Zs. f. Phys., 1930, 60, 206, где указывается на ограничения для измерений поля, не связанные с квантовой теорией полей. См. также: J. Solomon. Journ. d. Phys., 1933, 4, 368.
С ускорением всякого пробного тела, сопровождающим измерение его импульса, связано возникновение добавочного электромагнитного поля, которого мы, однако, до сих пор не рассматривали. Это добавочное поле налагается на первоначальное и должно входить в средние значения поля, определяемые уравнениями вида (15). В связи с этим главная задача нижеследующих рассуждений будет состоять в нахождении такого измерительного устройства, при котором поля, возникающие от пробных тел, были бы доступны контролю или компенсировались бы в максимально возможной степени.
Здесь мы должны, однако, сперва рассмотреть вопрос о том, в какой мере обратное действие полей излучения, порождаемых ускорениями пробных тел при измерении их импульса, способно помешать измерению входящих в формулу (15) начального и конечного значений компоненты импульса. Именно имея в виду возможность этих помех, Ландау и Пайерлс в своей цитированной выше работе подвергли сомнению применимость к заряженным телам соотношения неопределённости (16). Названные авторы пришли к выводу, что это соотношение следует заменить другим, ещё больше ограничивающим возможности измерения и содержащим явно заряд пробного тела. Но при этом они уподобили поведение пробного тела в электромагнитном поле поведению точечного заряда e. Для изменения количества движения пробного тела, вызванного обратным действием излучения за время t, они применяли поэтому оценку
e
p
x
~
e^2
c^3
x
(t)^2
.
(22)
Но если рассматривать epx как дополнительную неопределённость в измерении импульса, то, полагая V=e и пренебрегая различием между Ex и Ex мы получаем вместо (17) выражение
e
E
x
~
h
eTx
+
ex
c^3eT(t)^2
,
(23)
минимум которого относительно e, очевидно, равен
m
E
x
~
hc
c^2eTt
.
(24)
Если теперь, следуя Ландау и Пайерлсу, пренебречь различием между T и t, то это выражение перейдёт в даваемый ими абсолютный предел измеримости компонент поля; на существовании же такого рода предела базируется вся их критика основ квантовой электродинамики.