Избранные научные труды
Шрифт:
;
E
(I,II)
y
=
D
(I)
x
I
V
I
T
I
A
(I,II)
xy
;
H
(I,II)
x
=
D
;
H
(I,II)
y
=
D
(I)
x
I
V
I
T
I
B
(I,II)
xy
.
(43)
На основании свойств выражений A и B, уже обсуждённых нами в § 2, мы можем утверждать, что даваемые формулами (43) выражения для средних значений поля представляют при заданной величине D(I)x вполне определённые непрерывные функции областей I и II. При убывании продолжительности измерения импульса t и соответствующего непредсказуемого смещения x эти средние значения поля оказываются, таким образом, не зависящими от подробностей хода процессов столкновения и просто пропорциональными постоянной величине смещения пробного тела за время измерения TI. Именно это обстоятельство и является, как мы увидим ниже, решающим для возможности далеко идущей компенсации не поддающихся контролю полей, возникающих от пробных тел.
До сих пор вычисление этих полей производилось нами на чисто классической основе. Для более подробного сравнения возможностей измерения с требованиями, вытекающими из аппарата квантовой электродинамики, нам необходимо рассмотреть ещё квантовую сторону дела. Мы должны учесть те ограничения, которые налагаются на классический способ расчёта квантовыми особенностями полевых воздействий, связанными с представлением о световых квантах. Чтобы получить понятие о тех соотношениях, которые здесь имеют место, мы допустим, что рассматриваемые области усреднения одинаковы по порядку величины и смещены в пространстве относительно друг друга на отрезки того же порядка величины, как их линейные размеры, которые мы обозначим через L; кроме того, мы допустим, что соответствующие временные интервалы (имеющие порядок T) не превышают величины L/c. При таких условиях в спектральном разложении полевых воздействий будут встречаться в основном только волны, длина которых будет того же порядка, что и L. Далее, напряжённость поля, порождаемого измерением импульса, будет по порядку величины равна x, а значит энергия поля, содержащаяся в объёме V, будет порядка ^2(x)^2V. Поэтому оценка для числа световых квантов, которые могут здесь играть роль, будет даваться выражением
n
~
^2
(
x)^2
V
L
hc
=
– 2
L
cT
,
(44)
где — множитель, характеризующий точность измерения и определяемый формулой (20). Таким образом, если требуется точность, позволяющая мерить поля, меньше критической величины Q [формула (18)], то в нашем случае число квантов n будет всегда велико по сравнению с единицей.
Относительная точность классически вычисленных выражений (42) и (43) для рассматриваемых полевых воздействий будет тем большей, чем больше точность измерения поля, которой мы задаёмся. Необходимо, однако, заметить, что абсолютная точность этих выражений не меняется при возрастании n. В самом деле, статистические флуктуации значений поля, усреднённых по некоторой пространственно-временной области, будут в нашем случае иметь порядок величины
x
n
~
hc
VL
1/2
~
hc
L^2
.
Это выражение, дающее оценку флуктуаций поля, порождаемого пробными телами, всегда остаётся конечным и зависит только от линейных размеров области усреднения. Оно совпадает с выражением (14), относящимся к чистым флуктуациям чёрного излучения; последнее было выведено для случая L > cT из формального аппарата теории. Вообще приведённое выше рассуждение представляет не более чем пример рассмотренного в § 2 общего соотношения между флуктуациями чёрного излучения и статистическими отклонениями поля от его значения, вычисляемого на основе классической теории по заданному расположению источников. Там уже было упомянуто, что в случае L > cT, особенно важном для проверки аппарата теории, флуктуации чёрного излучения будут всегда меньше той напряжённости поля Q, которая характеризует дополнительную измеримость полевых величин, а именно, они будут тем меньше, чем больше отношение L к cT. В нижеследующем сравнении между измерениями поля и аппаратом теории мы будем поэтому всегда исходить из вычисляемых классически выражений (43) и лишь под конец мы обсудим вопрос о значении флуктуационных явлений для непротиворечивости аппарата теории.
§ 5. Измерение отдельных усреднённых значений поля
В основу исследования возможностей измерения усреднённых значений поля мы положим уравнение (15), из которого будем исходить как из определения. Уравнение это выражает классически описываемый баланс количества движения (импульса) для пробного тела, находящегося в поле. Согласно приведённым выше рассуждениям, каждая компонента поля, например Ex, должна рассматриваться как результат наложения полей всех источников, включая поля от самих пробных тел. Сущность проблемы измерения состоит как раз в решении вопроса о том, в какой мере все эти поля могут быть сопоставлены отдельным источникам. Но мы хотели бы уже здесь подчеркнуть, что для принятого выше определения усреднённых значений поля строгая применимость классического понятия поля остаётся в полной силе; она не подрывается тем, что классическое описание полей, порождаемых пробными телами, справедливо, как мы уже упоминали, лишь в известных пределах. Для однозначности принятого выше определения требуется лишь, чтобы массы пробных тел могли быть выбраны достаточно большими (настолько большими, чтобы можно было пренебречь теми изменениями электромагнитных полей, которые происходят от ускорения пробных тел под влиянием измеряемых полей). Это соображение не связано с рассмотренным в § 3 вопросом о достижимой точности измерения импульса пробных тел в начале и в конце данного промежутка времени. Можно было бы усмотреть в указанном пренебрежении противоречие с атомным (дискретным) характером обмена импульса между электромагнитными полями и материальными телами. Однако здесь нужно иметь в виду, что в рассматриваемой проблеме измерения речь вовсе не идёт о том, чтобы проследить какие-либо определённые элементарные процессы в смысле представления о световых квантах. Так, в описанном выше измерительном устройстве твердый каркас (с которым каждое пробное тело связано до начала и после конца измерения) принимает на себя неконтролируемый импульс (толчок).
В предельном случае, когда возможно классическое описание взаимодействия между цугом электромагнитных волн и достаточно тяжёлым заряженным телом, указанный перенос импульса в точности компенсировал бы импульс, воспринятый пробным телом в течение промежутка времени, затраченного на измерение.
Прежде чем перейти к общему обсуждению проблемы измерения, мы рассмотрим сперва отдельное измерение поля, когда требуется (как в § 3) определить значение Ex, усреднённое по определённой пространственно-временной области, которую мы будем обозначать индексом I, в соответствии с обозначениями предыдущего параграфа. Согласно основному уравнению (15) мы получим для приращения импульса пробного тела выражение
p
(II)''
x
–
p
(II)'
x
=
I
V
I
T
I
E
(I)
x
+
E
(I,I)
x
.
(45)
Здесь E(I)x — среднее значение того поля Ex, которое было бы в области I, если бы в момент времени t' не было предпринято измерение импульса пробного тела. Величина же E(I,I)x есть среднее значение той части поля, которая происходит от этого измерения импульса; основанная на классической теории оценка этой части поля даётся выражением (43), в котором нужно положить области I и II совпадающими.
Согласно изложенному в § 3, входящую в формулу (45) сумму усреднённых полей E(I)x и E(I,I)x можно определить с любой точностью, если только взять I достаточно большим. Однако чем больше I, тем больше будет неподдающееся контролю значение E(I,I)x, а в силу этого для точности, достижимой при помощи только что описанного простого измерительного устройства, будет существовать верхняя граница. Согласно (45) указанная точность даётся формулой
E
(I)
x
~
p
(I)
x
I V
I T
I
+
E
(I,I)
x
.
(46)
Имея в виду, что входящая в (43) величина D(I,I)x может быть указана только с допуском x(I), и учитывая соотношение .неопределённости (16), мы получаем из (46) следующее выражение для E(I)x:
E
(I)
x
~
h
IxIVITI
+
I
x
I
V
I
T
I
|
A
(II)
xx
|.
(47)
Наименьшее значение этого выражения, очевидно, равно
m
E
(I)
x