Чтение онлайн

''

,x

–

v

'

,x

)=

h

c

 

n

('+'')

,

1

2

m

(

v

''

,x

–

v

''

,x

)=

h

 

n

('+'')

.

(32)

Здесь m — масса составной части, v',x и v'',x — её скорости до и после отражения света, а суммирование распространяется на все отражённые от данной составной части световые кванты (числа n) с угловыми частотами ' до и '' после отражения (угловая частота равна 2, делённому на период). Значение до и после столкновения компоненты импульса данной составной части будет согласно (32) равно

p

'

,x

=

m

v

'

,x

=

m

c

('-'') n

('+'') n

–

1

2

h

c

n

('+'')

p

''

,x

=

m

v

'

,x

=

m

c

('-'') n

('+'') n

+

1

2

h

c

n

('+'')

(33)

Предположим теперь, что средняя спектральная частота 0 светового пучка весьма велика как по сравнению со средним отклонением (t)– 1 в распределении частот, так и по сравнению со всеми изменениями частот '-'' Тогда мы можем с достаточным приближением положить происшедшие в результате удара изменения скорости каждой из составных частей тела равными

v

''

,x

–

v

'

,x

=

h

mc

n

('+'')

=

2nh0

mc

(34)

и принять их одинаковыми для всех составных частей. Таким образом, в результате соударения все составные части пробного тела получают хотя и недоступные контролю, но почти в точности одинаковые смещения (их можно считать одинаковыми со сколь угодно большой точностью). Порядок величины x этих смещений удовлетворяет соотношению (30), где |v''x — v'x | можно считать равным общему изменению скорости всей системы составных частей пробного тела. Как и раньше, мы будем считать x весьма малым по сравнению с ct На основании (33) и (34) мы получим тогда для произведения x на неопределённость в полном импульсе пробного тела приближённое выражение

p

x

x

~

t·

 

 

n

h'

–

 

 

n

h''

.

(35)

Стоящие здесь в скобках величины представляют как раз полные энергии обоих световых пучков: пучка, падающего на пробное тело, и пучка, отражённого от него. Энергия последнего может быть измерена с любой точностью, хотя бы путём спектрального анализа отражённого излучения. Для падающего же пучка подобный анализ был бы, очевидно, несовместимым с условиями опыта. Полная энергия этого излучения могла бы быть, однако, измерена с неточностью, связанной с t соотношением дополнительности (27). Для этого было бы достаточным чисто механическое приспособление, при помощи которого рассматриваемый пучок мог бы быть выделен из некоторого общего поля излучения, такого, что его энергия могла бы быть измерена с любой желаемой точностью (например, путём спектрального анализа) до и после выделения пучка. Таким образом, соотношение (35) совпадает с обычным соотношением неопределённости (16). Заметим ещё, что доказательство такого совпадения существенным образом связано с тем, что описанное устройство даёт только полный импульс пробного тела, но не импульсы составляющих его частей.

То обстоятельство, что применяемая при необходимых для нашей цели измерениях импульса система пробных тел испытывает общее смещение, важно не только для вычисления сопровождающего эти измерения поля, порождаемого пробными телами, но ещё и в другом отношении. Оно даёт нам возможность ставить опыт так, чтобы за исключением коротких промежутков времени, потребных для измерения импульса, всё остальное время все используемые для измерения поля пробные тела могли рассматриваться как неподвижные. (Это вносит в вычисления поля большие упрощения.) Чтобы достигнуть этого, мы можем сразу после каждого измерения импульса, т. е. практически ещё в пределах интервала t, сообщить при помощи надлежащего приспособления системе пробных тел второй, противоположный толчок, который уничтожил бы то изменение скорости, какое произошло от первого толчка. Это можно сделать для каждого входящего в систему тела с точностью, обратно пропорциональной его массе (т.е. практически с любой точностью), притом так, что знание полного импульса пробного тела не утрачивается. Однако промежуток времени между двумя толчками не может быть определён с допуском, меньшим, чем t. Поэтому пробное тело не возвращается в результате второго толчка в свое первоначальное положение; как этого требует принцип неопределённости, оно займёт новое, смещенное па величину x положение, где и перейдёт с данной степенью точности в состояние покоя.

В следующих параграфах мы ближе займёмся ограничениями измеримости величин поля, связанными с принципом дополнительности, а для суждения об этих ограничениях необходимо иметь возможность как можно точнее проследить поведение пробных тел в течение всего процесса измерения. Прежде всего необходимо точно знать положение каждого пробного тела в периоды времени до и после его использования для измерения. Для этого целесообразно устроить так, чтобы вне того промежутка времени, когда телу передаётся подлежащий измерению импульс от поля, тело было жёстко скреплено с твердым каркасом, представляющим пространственную систему отсчёта. В начале указанного промежутка времени связь с каркасом прерывается и производится измерение компоненты импульса пробного тела в направлении подлежащей определению компоненты поля. При этом мы всегда будем предполагать, что вслед за измерением производится встречный толчок описанного выше типа и в результате чего тело вновь приходит в состояние покоя, причём новое положение тела будет известно лишь приближённо, с неточностью, обратно пропорциональной его массе. В конце указанного промежутка времени, после нового измерения той же компоненты импульса, жёсткая связь с каркасом восстанавливается, причём существенно заставить пробное тело занять в точности первоначальное положение. Уже эти предписания налагают на конструкцию системы пробных тел весьма жёсткие условия, особенно в том случае, когда желательно достаточно точно отграничить те пространственно-временные области, по которым берётся усреднение. В самом деле, вследствие запаздывания всех действий, строго говоря, необходимо, чтобы открепление, а затем и скрепление всей системы твердых тел с твердым каркасом производилось одновременно. При этом линейные размеры отдельных тел, составляющих систему, должны быть по крайней мере столь же малыми, как наименьшее из рассматриваемых значений величины ct а это значит, что всё должно происходить в пределах того промежутка времени t, который затрачивается на измерение импульса; самый же этот промежуток времени должен быть мал по сравнению с временем усреднения T.

Требования, предъявляемые к идеальной конструкции системы пробных тел и к манипуляциям с нею, простираются ещё дальше, если речь идёт об измерении значений поля, усреднённых по двум частично перекрывающимся областям пространства-времени. В этом случае мы должны располагать такими пробными телами, которые бы могли вдвигаться одно в другое, не испытывая механического взаимодействия. Кроме того, мы должны стремиться к тому, чтобы наличие системы пробных тел возможно меньше возмущало подлежащие измерению электромагнитные поля. Для этого мы должны к каждому входящему в систему электрическому или магнитному пробному телу присоединять другое, нейтрализующее его тело с точно таким же по величине, но противоположным по знаку зарядом. В случае магнитной системы пробных тел нужно иметь в виду, что равномерное распределение полюсов на теле с резкими границами невозможно. Но в принципе можно себе представить, что каждое входящее в такую систему пробное тело соединено посредством гибких магнитных (т. е. способных намагничиваться) нитей с соответственным нейтрализующим телом. В течение всего процесса измерения все эти нейтрализующие тела должны быть связаны с твердым каркасом, но так, чтобы свободная подвижность тех тел, которые являются пробными телами в собственном смысле, при этом не нарушалась. Всякого рода идеализации, связанные как с этими, так и с другими предположениями о необходимых компенсационных механизмах (которые мы ещё будем рассматривать ниже), сохраняют смысл лишь в той мере, в какой мы можем пренебречь атомным строением пробных тел. Это пренебрежение не представляет, однако, как мы уже говорили, принципиального ограничения для возможности проверки аппарата квантовой электродинамики, поскольку его формулировка не содержит универсальных констант размерности пространства или времени. Цель изложенных выше рассуждений состояла поэтому также и в том, чтобы проанализировать те чисто механические проблемы, которые связаны с измерениями поля, и показать возможность проведения строгого различия между двумя типами возникающих здесь ограничений. Мы имеем в виду, с одной стороны, те ограничения, которые накладываются на свойства пробных тел атомной структурой материи, и, с другой стороны, те ограничения, которым подвержены манипуляции с пробными телами в силу существования универсального кванта действия; эти последние ограничения формулированы в соотношениях неопределённости.

§ 4. Вычисление влияния пробных тел на поле

Мы исследовали выше те физические требования, какие должны предъявляться к свойствам пробных тел. Теперь мы перейдём к более подробному рассмотрению тех электромагнитных действий пробных тел, которые сопровождают измерения поля; действия эти весьма существенны для решения вопроса об измеримости. Согласно сказанному выше мы будем при этом рассматривать каждое пробное тело как непрерывное распределение зарядов, равномерно заполняющее пространственную область, по которой производится усреднение; при измерении импульса это распределение зарядов испытывает параллельное перемещение. Порождаемые при этом электромагнитные поля будут нами вычисляться сперва на основе классической электродинамики, и лишь затем будут рассмотрены вносимые квантом действия ограничения применимости такого способа расчёта.

Рассмотрим две пространственно-временные области I и II, имеющие объёмы VI и VII и протяженности во времени TI и TII. Поставим вопрос: каково будет электромагнитное поле в точке (x2, y2, z2, t2) области II, возникающее в результате измерения значения Ex усреднённого по области I. Мы будем считать, что в объёме VI первоначально находятся два распределения электрических зарядов с постоянными плотностями +I и -I. За время от t'I до t'I+tI первое распределение зарядов испытывает неравномерное параллельное перемещение в направлении оси x на отрезок D(I)x; в течение времени от t'I+tI до t''I оно остаётся в покое в смещенном положении; наконец, за время от t''I до t''I+tI оно вновь передвигается неравномерно в направлении оси x и возвращается при этом в свое первоначальное положение, в котором заряды нейтрализуются. В соответствии с требованием, поставленным в предыдущем параграфе, мы примем далее, что tI весьма мало по сравнению с TI = t''I– t'I и что D(I)x мало не только по сравнению с линейными размерами объёма VI (по которому производится усреднение), но и по сравнению с ctI.

Таким образом, в случае исчезающе малых tI источники искомого поля могут быть выражены через некоторую поляризацию и некоторую плотность тока. Поляризация существует в области I в промежутке времени от t'I до t''II она направлена по оси x и имеет постоянную плотность R(I)x = D(I)x. Плотность тока существует только в моменты времени, примыкающие к t'I и t''I и может быть записана в виде

J