Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
где лагранжиан L определен формулой (5.3). Поля и , обладая нулевым спином, подчиняются статистике Ферми — Дирака6a). Эти поля не появляются в начальных или конечных состояниях (по предположению они нефизические), поэтому несоответствие их спина и статистики не должно вызывать беспокойства.
6a Иногда удобно, хотя и не обязательно, считать поля и взаимно сопряженными. Более подробно вопрос о духах обсуждается в § 41, 42.
Рис. 3. Петля духов.
Продолжим рассмотрение свойства унитарности S-матрицы, введя в лагранжиан член, описывающий вклад духов. Так как духи взаимодействуют лишь с глюонами, они изменяют только диаграмму рис. 1, а, которая приводила к нарушению унитарности. Выражение для тензора приобретает возникающую за счет духов добавку, для которой после простых вычислений (рис. 3) получаем следующий результат:
(Ghost)aa'
=
aa'
C
A
ig
2
d
D
k
·
k
(k+q)
(2)
D
k
2
(k+q)
2
=
aa'
g
2
C
A
{[
1
N
+
1
–
1
dx·x(1-x)log(-x(1-x)q
2
)
]
q
2
g
32
2
6
6
0
–
[
–
1
N
+2
1
dx·x(1-x)log(-x(1-x)q
2
)
]
q
q
}
.
3
0
Суммируя вклады глюонов и духов и используя формулы интегрирования, приведенные в приложении Б, находим для поляризационного оператора окончательное выражение
=
aa'
g
2
C
A
(-g
q
2
+q
q
)
{
–
10
N
–
62
+
10
log(q
2
)
}
,
(all)aa'
32
2
3
9
3
(5.9)
которое, очевидно, удовлетворяет условию поперечности
q
=
q
= 0.
(all)aa'
(all)aa'
(5.10)
Проверку унитарности мы оставляем читателю в качестве простого упражнения. Далее в тексте индекс all мы опускаем и рассматриваем лагранжиан КХД, записанный в ковариантной (лоренцевой) калибровке, т.е.
L
=
{
i
q
q-m
q
q
}
-
1
(DxB)
2
-
(B)
q
4
2
q
QCD
+
(
)(
– gf
B
)
,
a
ab
abc
c
b
=
1-1/
(5.11)
Начиная со следующего раздела, в обозначении лагранжиана L индекс КХД мы также будем опускать.
2. Физические калибровки
Появление духов вызвано тем, что оператор проекции на физические состояния P не коммутирует с лагранжианом КХД, записанным в лоренцевой калибровке. Может оказаться, что такой проблемы не возникнет, если выбрать калибровку, в которой все глюонные состояния соответствуют физическим, так что все гильбертово пространство полей является физическим. Известно, что уже на уровне квантовой электродинамики невозможно одновременно удовлетворить условиям положительной энергии, локальности и явной лоренц-инвариантности. Поэтому возникает необходимость использования нековариантной калибровки. Одной из нековариантных калибровок является кулоновская калибровка8), однако она тоже не свободна от духов. Необходимость введения духов исчезает, если потребовать выполнения соотношений
8 Более того, кулоновская калибровка вносит дополнительные усложнения. Формулировка КХД в кулоновской калибровке изложена в статье [69].
n·B=0,
n
2
<=0.
(5.12)
Случай пространственноподобного вектора n(n2<0) соответствует аксиальным калибровкам9), а случай светоподобного вектора n(n2=0) — светоподобной калибровке10). Так как вектор n является по отношению к задаче внешним его введение нарушает явную лоренц-инвариантность промежуточных вычислений, хотя, конечно, калибровочная инвариантность обеспечивает независимость окончательных результатов для физических величин от вектора n, а следовательно, и их лоренц-инвариантность.
9 Аксиальные калибровки обсуждаются в работе [185]. См. также цитируемую там литературу.
10 См., например, работу [247] и цитируемую там литературу.
Начнем с рассмотрения аксиальной калибровки. Лагранжиан, записанный в аксиальной калибровке, имеет вид
L
{
i
q
q - m
q
q
}
-
1
(DxB)