Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
2
–
1
(n·B)
2
.
n
q
4
2
q
(5.13)
В дальнейшем по параметру подразумевается предельный переход ->0, так что условие (5.12) представляет собой операторное соотношение, выполненное на всем гильбертовом пространстве. Пропагатор, соответствующий лагранжиану (5.13), записывается в виде
i
– g
– k
k
(n
2
+k
2
)/(k·n)
2
+ (n
k
+n
k
)(n·k)
– 1
;
k
2
+i0
(5.14)
в пределе ->0 он принимает вид
i
– g
– n
2
(k
k
/(k·k)
2
) + (n
k
+n
k
)/(k·n)
.
k
2
+i0
(5.15)
Обобщение теории на аксиальные калибровки нетривиально; детальное изложение этой процедуры заинтересованный читатель найдет в работе [185]. Все вычисления в аксиальных калибровках мы будем проводить только на однопетлевом уровне, на котором трудностей не возникает.
При рассмотрении светоподобных калибровок удобно ввести так называемые "нулевые" координаты, определяемые для любого вектора v в виде
v
±
=
1
2
(v
0
±v
3
),
v
v1
v2
; v
a
=v
±
или v
i
(i=1,2).
Метрика определяется следующим образом:
g
+-
=g
– +
=1,
g
++
=g
– -
=0,
g
ij
=-
ij
,
i,j=1,2.
Отметим, что выполняются соотношения
v·w=v
+
w
–
+v
–
w
+
–
vw
=v
a
w
a
.
Для светоподобного вектора u "нулевые" координаты можно выбрать в виде u=0, u– =0, u+=1. Тогда дополнительное условие u·B=0 можно записать в виде
B
a
(x)=0.
–
(5.16)
Пропагатор в светоподобной калибровке определяется соотношением
i
P
(k,u)
= i
– g
+(u
+u
k
)/(u·k)
,
k
2
+i0
k
2
+i0
(5.17)
которое представляет собой частный случай формулы (5.15) с вектором n=u, u2=0. В нулевых координатах выражение (5.17) можно переписать в следующем виде:
P
a
=
– g
a
+(
a
–
k
+
–
k
a
)/k
–
.
k
2
k
a
k
a
+i0
В качестве примера использования светоподобной калибровки рассмотрим глюонный пропагатор во втором порядке теории возмущений. В названной калибровке он имеет вид
l,ab
=
– ig
2
C
A
ab
d
D
k
·
1
2
(2)
D
k
2(k+q)2
x
[
– (2k+q)
g
+(k-q)
g
+
(2q+k)
g
]
P
(k,u)
x
[
– (2k+q)
g
+(k-q)
g
+
(2q+k)
g
]
P
(k+q,u) .
Будем рассматривать только расходящуюся и логарифмическую части. Это значительно упрощает вычисления, в результате которых получаем
(q)
l,ab
=
11C
A
g
2
ab
(-q
2
g
+q
q
)
3x16
2
+
{
N
– log(-q
2