Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
i
(x)
q
j
(0)
0
.
(7.2)
Соответствующие диаграммы приведены на рис. 4. В произвольной калибровке в пространстве размерности D = 4 — для пропагатора S имеем выражение вида
S
ij
(p)
D
=
ij
i
-
1
– m+i0
– m+i0
x
g
2
t
a
t
a
(2)
(p)
i
il
lj
D
– m+i0
l,a
+
члены высших порядков,
(7.3а)
где введено обозначение
(2)
(p)=-i
d
D
k
(
+
+m)
·
– g
+k
k
/k
2
.
D
(p+k)
2
– m
2
k
2
(7.3 б)
Рйс. 4. Кварковый пропагатор (а) и итерация (б)
Используя тождество
для массового оператора получаем выражение
(2)
(p)
D
=
– i
d
D
k
{
(D-2)(
+
)-Dm-(
– m)
k
2
[(p+k)
2
– m
2
]
–
(p
2
– m
2
)
k
}
.
k
4
[(p+k)
2
– m
2
]
После стандартных преобразований (пренебрегая членами, исчезающими в пределе ->0) приходим к окончательному ответу
(2)
(p)=(
– m)A
D
(p
2
) +
mB
D
(p
2
);
D
(7.4 а)
A
D
=
1
{
(1-)N
– 1-
1
dx[2(1-x)-]log
xm
2
– x(1
– x)p
2
16
2
0
2
0
–
(p
2
– m
2
)
1
dx
x
}
;
0
m
2
– xp
2
(7.4 б)
B
D
=
1
{
– 3N
+1+2
1
dx(1+x)log
xm
2
– x(1
– x)p
2
16
2
0
v
2
0
–
(p
2
– m
2
)
1
dx
x
0
m
2
– xp
2
(7.4 в)
Здесь введено обозначение N=2/-E+log4.
В размерной регуляризации все полосы появляются именно в такой комбинации. Используя равенство
t
a
t
a
=C
F
ij
=
4
ij
il
lj
3
(см. приложение В), выражения (7.4) можно подставить в формулу (7.3) и получить кварковый пропагатор в виде
S
D
(p)=i
{
– m+g
2
C
F
(2)
}
– 1
;
(7.5 а)
S
D
=
i
1-C
F
g
2
A
D
(p
2
)
+члены высших порядков.