Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
/(q
2
+i0)
.
q
2
+i0
Другими словами, если пропагатор D разложить в ряд по степеням константы взаимодействия
D
(q)
=
D
(0)
(q)
+
e
2
D
(2)
(q)
+ …,
4
то все величины D(n) удовлетворяют условию поперечности:
qD(n)(q)=0, n=2,4,…,
которое эквивалентно соотношению (5.10).
Обобщением калибровочных преобразований (6.3) на случай неабелевой теории являются так называемые преобразования Бекши — Роуета — Стора (БРС) [32, 33]. При этом поля духов, как и все другие поля, подвергаются калибровочным преобразованиям, в результате чего (с точностью до 4-дивергенции) полный лагранжиан квантовой хромодинамики (5.11) становится калибровочно-инвариантным. Такие преобразования приводят к тождествам Славнова [232] — Тейлора [244], представляющим собой аналог тождеств Уорда в квантовой электродинамике. Предполагается, что параметр инфинитезимальных преобразований БРС представляет собой не зависящую от пространственно-временной точки x c-числовую величину, антикоммутирующую (коммутирующую) с фермионными (бозонными) полями10b). Инфинитезимальные преобразования БРС определяются в виде
10b При этом 2=0, =-, q=-q, B=-B и т.д. Следует помнить, что поля являются фермионными и подчиняются статистике Ферми-Дирака, так что справедливо соотношение bc=-cb.
B
– >
B
–
{
ab
– gf
abc
B
}
b
,
a
a
c
q->q - ig
t
a
a
q,
a
– >
a
–
g
f
abc
b
c
,
2
a
– >
a
+
B
.
a
(6.8)
Используя эти преобразования точно так же, как это делается в случае, квантовой электродинамики, легко получить результат, аналогичный формуле (6.7). Если записать пропагатор в виде суммы продольной и поперечной частей
D
(q)=
ab
(-g
q
2
+q
q
)D
tr
+
ab
q
q
D
L
,
ab
q
2
(6.9)
то для продольной части имеем
D
L
= -
1
·
i
q
2
– i0
(6.10)
Разложим пропагатор D в ряд по степеням константы взаимодействия g2:
D
ab
n=0
g^2
4
^2
D
(n)
ab
.
Примем во внимание соотношение
D
(2)
=
D
(0)'
(2)
D
(0)'
ab
aa'
a'b'''
b'b
(поляризационный оператор (2) взят во втором порядке теории возмущений). Из двух последних соотношений получаем следующий результат:
q
(2)
=0.
ab
Справедливость этого равенства как раз и проверялась в уравнениях (5.9) и (5.10).
Необходимо отметить, что все проведенные выше выкладки выполнены чисто формальным образом. Так, например, в процессе вычислений мы намеренно закрывали глаза на то, что пропагаторы представляют собой сингулярные функции. Чтобы корректно установить равенства между величинами, необходимо проверить, что к ним можно применять процедуру перенормировок (см. § 7 — 9). В самом деле, некоторые формальные равенства при этом нарушаются; пример такого нарушения приведен в § 33. Однако даже сохраняющиеся при процедуре перенормировок равенства иногда приходится интерпретировать по-новому. Это относится, например, к уравнению (6.10), так как фигурирующий в нем калибровочный параметр заменяется на перенормированный, в результате чего смысл его несколько изменяется.
§ 7. Размерная регуляризация
Как мы видели в примере, приведенном в § 5, некоторые из амплитуд рассеяния оказываются расходящимися. Это происходит из-за сингулярного характера полевых операторов. Легко найти, что расходимость интеграла по dk в (5-46) при больших импульсах k обусловлена тем, что в координатном пространстве в него входят произведения полевых операторов, взятых в одной пространственно-временной точке. Поэтому, чтобы обсуждать квантовую хромодинамику (или любую другую локальную релятивистскую теорию поля), необходимо появляющимся при вычислении фейнмановских диаграмм интегралам придать математически строгий смысл. Эта процедура носит название регуляризации и сводится к замене лагранжиана L регуляризованным лагранжианом L, приводящим при вычислении фейнмановских диаграмм к конечным ответам и в пределе ->0 переходящим в некотором смысле в исходный лагранжиан L, т.е. L– >L. Из классических работ Бора и Розенфельда [46, 47] известно, что полевые операторы по своей природе сингулярны, и, следовательно, любая процедура регуляризации с неизбежностью нарушает некоторые физические особенности теории. Например, регуляризация Паули — Вилларса в случае неабелевой теории нарушает свойства эрмитовости и калибровочной инвариантности, решеточная регуляризация нарушает инвариантность по отношению к преобразованиям Пуанкаре и т.д. Конечно, в пределе ->0 эти свойства восстанавливаются (если мы были достаточно осторожны!). Свойства калибровочной и лоренц-инвариантности особенно важны в случае КХД, поэтому в дальнейшем мы будем использовать размерную регуляризацию, нарушающую лишь масштабную инвариантность. Этот метод, подробно развитый в работах т’Хофта и Велтмана [253] (см. также [48]), связан с так называемой аналитической регуляризацией [49, 233]. Он состоит в том, что все вычисления проводят в пространстве размерности D=4-, в конечном же ответе переходят к физическому пределу при ->0. При этом расходимости проявляются в виде полюсов по 1/. Насколько известно автору, математически строгого определения объекта в пространстве произвольной размерности D не существует, кроме случая, когда она равна положительному целому числу. Но этому не следует придавать слишком большого значения; нам необходимы лишь интерполяционные формулы, обладающие свойством калибровочной и пуанкаре-инвариантности и пригодные для вычисления фейнмановских интегралов. Такие интерполяционные формулы можно получить поэтапно. Рассмотрим сначала сходящийся интеграл вида (2)DdDkf(k2), где функция f, как правило, имеет вид f(k2)=(k2)r(k2– a2)– m с целочисленными значениями параметров r и m, а величины dDk и k2 определяются выражениями dDk=dk0dk1…dkD-1, k2=(k0)2– (k1)2– …-(kD-1)2. Так как функция f аналитична в плоскости комплексного переменного k0, контур интегрирования можно повернуть на 90° и перейти от контура (-,+), к контуру (-i,+i), т.е. совершить так называемый виковский поворот. Затем можно восстановить интегрирование по прямой (-,+), определив новую переменную k0– >kD=ik0. Таким образом, получаем обычный евклидов интеграл в пространстве размерности D
i
+
dk
1
…
+
dk
D
f(-k
2
),
k
2
(k
1
)
2
+…+
(k
D
)
2
|k
E
|
2
.
–
2
–
2
E
E
Если элемент объема в D-мерном пространстве обозначить через dDkE=dk1…dkD, то, вводя полярные координаты, его можно записать в виде dDkE=d|kE|·|kE|D-1dD . Используя формулу dD=2D/2/(D/2), получаем наконец
d
D
k
f=
i