Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
48а) Мы оставляем читателю в качестве упражнения доказательство этого равенства, а также равенства
2
x1
2
x2 TA(x1)A(x2)(z) = T(^2A(x1)^2A(x2))(z) , означающего, что возможные члены, в которых производные действуют на функцию 01– z0 в хронологическом произведении, приводят к вкладам, равным нулю.
F(
0
)->(k
1
,
1
),(k
2
,
2
))
=
e
2
(q
2
– m
2
)
2
*
(k
1
,
1
)
*
(k
2
,
2
)
F
(k
2
,k
2
) ,
(33.2а)
где вакуумное среднее
F
(k
2
,k
2
)
=
d
4
xd
4
y
e
i(x·k1+y·k2)
TJ
(x)J
(y)
0
(0)
0
,
q
=
k
1
+k
2
.
(33.2б)
Всюду в дальнейшем при токе J подразумевается индекс em, обозначающий электромагнитное взаимодействие. Теперь можно использовать соотношение (31.1), обобщив его так, чтобы включить поля 0– мезонов:
A
3
(x)
=
2f
m
2
0
(x),
A
3
(x)
=
u
(x)
5
u(x)
–
d
(x)
5
d(x),
(33.3)
и записать с его помощью равенства
F
(k
1
,k
2
)
=
1
fm
2
T
(k
1
,k
2
),
T
(k
1
,k
2
)
=
1
2
d
4
xd
4
y
e
i(x·k1+y·k2)
TJ
(x)J
(0)A
3
(0)
0
.
(33.4)
До сих пор все вычисления были точными. Следующий же шаг связан с применением гипотезы частичного сохранения аксиального тока (ЧСАТ), сформулированной в таком виде: предполагается, что в пределе q^2->0 амплитуду F(->) можно аппроксимировать ее ведущим членом. Из чисто кинематических соображений видно, что при этом также q, k1, k2– > 0. Тогда можно написать
T
(k
1
,k
2
)
=
k
1
k
2
+O(k
3
).
(33.5)
Гипотеза частичного сохранения аксиального тока означает, что в выражении (33.5) мы сохраняем только первый член. Ниже будет показано, что это приводит к противоречию, для разрешения которого необходимо ввести так называемую аксиальную аномалию, что позволит точно вычислить тензор T во всех порядках теории возмущений (в приближении ЧСАТ).
Первый шаг состоит в рассмотрении величины
R
(k
1
,k
2
)
=
d
4
xd
4
y
e
i(x·k1+y·k2)
TJ
(x)J
(y)A
3
(0)
0
.
(33.6)
Исходя только из требования лоренц-инвариантности, для нее можно написать общее разложение
R
(k
1
,k
2
)
=
k
1
1
+
k
2
2
+O(k^3),
(33.7)
где члены O(k^3) имеют вид kikikllij + три перестановки, и для случая m/=0 функция является регулярной в пределе ki– >0. Сохранение электромагнитного тока J=0 приводит к равенствам
k
1
R
=
k
2
R
=0;
(33.8)
первое из этих равенств обеспечивает выполнение соотношения
1
=
O(k^2),
(33.9а)
а второе - соотношения
2
=
O(k^2),
(33.9б)
Но из формул (33.4) и (33.6) следует равенство