Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
s
s
vac
=
– f
2
K
m
2
K0
.
(31.5)
Если предположить, что вакуумное среднее qq одинаково для кварков всех ароматов, то для масс легких кварков можно получить
ms+mu
md+mu
f
2
K
m
2
K+
f
2
m
2
,
md– mu
md+mu
f
2
K
f
2
·
m
2
K0
– m
2
K+
m
2
.
Более строгие оценки требуют рассмотрения обусловленных электромагнитным взаимодействием вкладов в наблюдаемые массы и K-мезонов. Учитывая их, получаем48)
48) См. работы [99, 260, 280]. Этот метод возник в работах [141, 147, 192]
ms
md
=18±4 ,
md
mu
=2.0±0.3
(31.6)
Если теперь объединить эти результаты с феноменологическими оценками (из спектроскопии мезонов и барионов) масс кварков ms– md100 - 200 МэВ md– mu4 МэВ, то мы получим следующие значения масс в мегаэлектронвольтах:
m
u
(q~m
p
)6,
m
d
(Q~m
p
)10,
m
s
(Q~m
p
)200,
(31.7)
где приближенное равенство означает, что возможна ошибка в 2 раза.
Такой способ получения масс кварков весьма неточен, поэтому в следующем параграфе будет описан другой, более изощренный метод.
§ 32. Ограничения на массы легких кварков и оценки для них
В этом параграфе описан метод получения ограничений на массы кварков и оценок для них. Этот метод впервые был использован в работе [254] и развит в работе [34]. Отправной точкой метода является функция
5
ij
(q^2)
=
i(m
i
+m
j
)^2
d
4
x e
iq·x
TJ
5
ij
(x)J
5
ij
(0)
+
vac
,
(32.1)
где ток J5 имеет вид
J
5
ij
q
i
5
q
j
.
Во всех порядках теорий возмущений функция
F
ij
(Q^2)
=
^2
(q^2)^2
5
ij
(q^2) ,
Q^2=-q^2 ,
в пределе Q^2-> обращается в нуль. Следовательно, можно записать без каких-либо вычитаний следующее дисперсионное соотношение:
F
ij
(Q^2)
=
2
0
dt
Im
5
ij
(t)
(t+Q^2)^3
.
(32.2)
Левую часть этого равенства при больших значениях Q^2 можно вычислить в рамках квантовой хромодинамики. Но при этом необходимо соблюдать осторожность: недостаточно сохранить только ведущий член операторного разложения для произведения токов TJ5J5+, вклад операторов qq, xqq и G^2=aGaGa также оказывается важным. Проводя вычисления в двухпетлевом приближении и помня о том, что операторы sG^2 и mqq в рассматриваемом порядке теории возмущений являются ренорминвариантными величинами, получаем
F
ij
(Q^2)
=
3
8^2
·
[mi(Q^2)+mj(Q^2)]^2
Q^2
x
1+O
m^2
Q^2
+
11
3
·
s(Q^2)
+
2
3
·
sG^2
Q4
–
162
3Q4
m
j
–
mi
2
q
i
q
i
+
m
i
–
mj
2
q
j
q
j
.
Вклады операторов qq и G^2 оцениваются с учетом непертурбативных частей кваркового и глюонного пропагаторов (см. § 35, 36, где подробно рассмотрен пример вычислений). Вклады оператора mqq можно оценить, используя формулы (31.4) и (31.5); по-видимому, эти вклады имеют величину O(m^2/Q^2) и оказываются пренебрежимо малыми. Таким образом, получаем
F
ij
(Q^2)
=
3
8^2
·
[mi(Q^2)+mj(Q^2)]^2
Q^2
x
1+
11
3
·
s(Q^2)
+
2
3Q4
s
G^2
.
(32.3)
Обратимся теперь к правой части равенства (32.2). Вклад пионного (для ij=ud) или каонного (для ij=us,sd) резонанса можно получить непосредственно; в случае пионов находим