Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
q
R
(k
1
,k
2
)
=
T
(k
1
,k
2
), т.е. =
2
–
1
,
(33.10)
и, следовательно, учитывая выражения (33.9) , получаем результат [238, 255]
=O(k^2).
(33.11)
Импульс k имеет величину порядка m откуда следует оценка 2. По это противоречит эксперименту и, что еще хуже, противоречит результату прямого вычисления. Действительно, используя уравнение движения, можно написать
A
3
(3)=2i
m
u
u
(x)
5
u(x)
–
m
d
d
(x)
5
d(x)
.
(33.12)
Рис. 25. Диаграммы с аномалиями (а, б) и диаграммы, не содержащие аномалий (в, г).
Проведем вычисления в нулевом порядке теории возмущений по константе связи s ; очевидно, что в этом порядке выражение (33.11) должно быть справедливо. Этому соответствуют диаграммы рис. 25, а. Результат, полученный впервые в работе [234], в пределе k1,k2– >0 при u=1, d=-1 имеет вид
T
(k
1
,k
2
)
=
3x2x
f=u,d
f
Q
2
f
m
f
x
d4p
24
·
Tr
5
(
+k
1
+m
f
)
(
+m
f
)
(
– k
2
+m
f
)
[(p+k
1
)^2-m
2
f
](p^2-m
2
f
[(p-k
2
)^2-m
2
f
]
=
– 1
4^2
k
1
k
2
3(Q
2
u
– Q
2
d
)
+O(k
4
)
=
– 1
4^2
k
1
k
2
+O(k
4
)
Множитель 2 в первом выражении является следствием учета "кросс" диаграмм; множитель 3 возник из суммирования по цвету. Таким образом, получаем
=
– 1
4^2
(33.13)
что противоречит результату (33.11). Это и составляет содержание треугольной аномалии [7, 36].
В чем скрыто противоречие? Очевидно, что нельзя сохранить выражение (33.12), которое получено с использованием уравнения движения для свободных полей i
q=mq ; необходимо допустить, что в присутствии векторных полей (в данном случае фотонного поля) выражение (33.12) не справедливо. Чтобы получить согласие с формулой (33.13), необходимо написать [7]
A
3
(x)
=
2i
m
u
u
(x)
5
u(x)
–
m
d
d
(x)
5
d(x)
+
3(Q
2
u
– Q
2
d
)
e^2
16^2
F
(x)
F
(x),
(33.14)
где дуальный тензор F определяется формулой
F
=
1
2
F
,
F
=
A
–
A
,
где A — фотонное поле. Для более общего случая фермионных полей f, взаимодействующих с векторными полями с константой взаимодействия hf , справедливо выражение
f
5
f
=
2im
f
f
5
f+
TFh^2
8^2
H
H
;
(33.15)
здесь H — тензор напряженностей векторных полей. Вернемся к рассмотрению распада 0– >. Из (33.13) в пределе ЧСАТ m~0 вычислим амплитуду распада
F(
0
– >2)
=
·
k
1
k
2
(k
1
,
1