Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
и их сверток с компонентами импульса q и q
q
q
F
(q)
=
– q
d
4
x e
iq·x
TA
(x)A
(0)
+
vac
,
=
– q
d
4
x e
iq·x
(x
0
)
[A
0
(x),A
(0)
+
]
vac
–
– q
d
4
x e
iq·x
TA(x)A
(0)+
vac
,
=
2i
d
4
x e
iq·x
(x
0
)
[A
0
(x)A(0)
+
]
vac
+
i
d
4
x e
iq·x
TA(x)A(0)
+
vac
.
Используя равенство (31.1) и вычислив коммутатор, получаем
q
q
F
(q)
=
2(m
u
+m
b
)
d
4
x e
iq·x
(x)
u
(x)u(x)+
d
(x)d(x)
vac
+
2if
2
m
4
d
4
x e
iq·x
T
(x)
(0)
+
vac
,
или в пределе q->0
2(m
u
+m
d
)
u
(0)u(0)+
d
(0)d(0)
vac
=
– 2if
2
m
4
dx e
iq·x
T
(x)
(0)
+
vac
q->0
.
В правую часть этого равенства дают вклады пионный полюс и континуум, которые можно записать в виде
i
d
4
x e
iq·x
T
(x)
(0)
+
vac
q->0
=
1
m
2
– q2
+
1
dt'
Im
t'-q^2
q->0
=
1
m
2
+
1
dt'
Im
t'
;
=
i
d
4
x e
id·x
T
n
(x)
(0)
+
vac
.
Порядок выполнения предельных переходов в данном случае существен; вначале следует устремить импульс q к нулю, а затем перейти к киральному пределу. В этом пределеле47а) m^2– >0 первый член в правой части записанного равенства расходится, а второй остается конечным. Следовательно, мы получаем окончательный результат
47а) Это собственно и есть предел ЧСАТ, так как в этом пределе аксиальный ток сохраняется и его дивергенция равна нулю: A=0.
(m
u
+m
d
)
u
u+
d
d
vac
=
– f
2
m
2
1+O(m
2
)
.
(31.4)
Это соотношение отражает тот факт, что вакуумное среднее qqvac не равно нулю, ибо в противном случае мы должны потребовать равенства f=0. Отметим также, что до сих пор не проводилось различий между "голыми" и перенормированными массами и операторами. Этого и не нужно делать, так как известно, что масса m и составной оператор qq обладают противоположным перенормировочным поведением, и справедливо равенство mR(qq)R = mu(qq)u .
Можно повторить вывод формулы (34.1) для каонов. Пренебрегая членами O(m^2) или O(m^2K), получим
(m
u
+m
s
)
u
u+
s
s
vac
=
– f
2
K
m
2
K+
,
(m
d
+m
s
)
d
d+