Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
i
)(p
2
– m
2
j
)((p-k
2
)
2
– m
2
l
)
+
a
ijl
(33.18а)
a
ijl
=
2
d
D
p Tr{(
–
2
– m
l
)
5
(
+
– m
i
)
5
}
x
1
1
1
·
(33.18б)
Первый член в (33.18а) соответствует тому, что мы получили бы при непосредственном использовании уравнений движения qi5ql = i(mi+ml)qi5ql ; второй член описывает аномалию. Приняв в пространстве размерности D для -матриц коммутационные соотношения {,5}=0, второе слагаемое в формуле (33.18а) можно записать в виде
a
ijl
=
– 2
d
D
p
Tr
5
1
1
+
Tr
5
1
1
.
(33.18в)
Отсюда заключаем, что тензор a равен нулю, так как каждый член выражения (33.18в) представляет собой антисимметричный тензор, зависящий от единственного вектора (первый член зависит от вектора k1 , второй — от вектора k2), который обращается в нуль. Между прочим, отсюда видно, что тензор a фактически не зависит от масс, так как производная (/m)a сходится, и, таким образом, это доказательство применимо. Следовательно, можно написать aijla, где тензор a получается из исходного тензора, если в нем массы всех частиц положить равными нулю. Аналогичные аргументы показывают, что тензор a должен иметь вид
a
=a
k
1
k
2
, a=constant,
(33.19а)
так что величину a можно получить двойным дифференцированием тензора a:
a=
2
k1k2
a
ki=0
.
(33.19б)
Из этих рассуждений и из выражения (33,18в) следует равенство a0, противоречащее теореме Велтмана — Сатерленда.
Оказывается, что вывод о тождественном равенстве нулю величины a фактически является иллюзорным. Если провести замену переменных, например p->p+k2 , в интеграле (33.18в), то мы получим конечный не равный нулю результат, зависящий от параметра : a=-/(2^2). Отсюда видно, что коммутационные соотношения {,5}=049) приводят к неопределенному значению аномалии. Однако если начать с формулы (33.186) и не предполагать антикоммутативности матриц и 5, то получим
49) Такие коммутационные соотношения внутренне противоричивы. Например, используя формулы, приведенные в приложении А для пространства размерности D/=4, получим Tr 5 = (6-D) Tr 5, в то время как, приложив коммутативность, можем получить выражения Tr 5 = -Tr 5 = (D-2) Tr 5, которые отличаются от предыдущих членами O(4-D). Но эти проблемы возникают только в том случае, если имеется по меньшей мере четыре -матрицы.
a
=-2
d
D
p
Tr
5
1
1
1
1
–
1
1
1
1
.
Выполняя симметричное интегрирование (приложение Б) и пользуясь только правилами вычислений, приведенными в приложении А для пространства размерности D/=4, получим однозначный результат
a
=
8(D-1)(4-D)
D(D+2)
·
i
16^2
·
2
4-D
·
Tr
5
+
O(4-D)
– >
D->4
– 1
2^2
.
В этом заключается одна из особенностей аномалии: значение конечного фейнмановского интеграла зависит от способа регуляризации. К счастью, этой проблемы можно избежать, если использовать теорему Велтмана — Сатерленда, из которой можно заключить, что во всяком случае существует единственное значение величины a49а) , совместимое с калибровочной инвариантностью, а именно