Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
2
0
dt
Im 5(t)
(t+Q^2)^3
=
4f
2
m
4
1
(m
2
+Q^2)^3
+
2
9m2
dt
Im 5(t)
(t+Q^2)^3
.
(32.4)
Здесь важно, что Im 5(t)>=0; отсюда немедленно следует неравенство, связывающее величины mu+md и m,f,sG^2 :
[
m
u
(Q^2)+
m
d
(Q^2)]^2
>=
32^2f
2
m
4
3(m
2
+Q^2)^3
x
1+
11
3
·
s(Q^2)
+
2
3Q4
s
G^2
– 1
.
(32.5)
Это ограничение не слишком хорошее, так как мы теряем значительную часть информации. Его можно улучшить, рассмотрев N-ю производную от величины F(Q^2) и оптимизируя ее по переменным N и Q2. Детальное изложение можно найти в работе [34]. В результате получаем
m
u
+m
d
>=
2
3
1/2
·
8m
2
f
2
3G^2 1/2
{1±} ,
(32.6)
где - поправка~25%. Если использовать значение вакуумного среднего sG^20 , полученное из спектроскопии чармония [229, 230] или в вычислениях на решетке [96], то получим такие численные оценки:
m
u
+m
d
>=(23±8) МэВ ,
s
G^20.044
+0.014
– 0.006
ГэВ
4
.
(32.7)
Эта ограничения не учитывают возможные ошибки в определении значения вакуумного среднего sG^2 . Если добавить и их, то получим ограничение снизу
m
u
+m
d
>=13 МэВ .
(32.8)
Во всяком случае, это ограничение совместимо в пределах ошибок с ограничениями (31.7), хотя некоторое предпочтение отдается большим массам кварков.
Этот метод можно использовать не только для получения ограничений на массы кварков, но и для оценки их значений. С этой целью в рамках той или иной модели вычисляют функцию Im 5ij(t), для которой при больших t используют выражение, полученное из КХД, а низкоэнергетическую часть параметризуют (одним или несколькими) резонансами. Таким способом получена оценка [169, 254, 284*]
m
u
+m
d
>=(20±6) МэВ ,
(32.9)
Недавно был развит альтернативный метод [210], который можно рассматривать как основанное на КХД улучшение классических оценок, полученных в работе [192]. Этот метод позволил получить приближенное значение mu+md(27±8) МэВ при параметре обрезания =130 ± 50 МэВ. Как было указано выше, мы получаем массы кварков, согласующиеся с оценками (31.7), но смещенные в сторону больших значений. Между прочим, эти оценки показывают, что ограничение (32.6) является очень строгим, и, возможно, приближенное равенство
m
u
+m
d
2
3
1/2
·
8m
2
f
2
3G^2 1/2
,
по крайней мере в некотором пределе, является точным.
§ 33. Распад 0– >; аксиальная аномалия
Одно из первых указаний на существование цветовых степеней свободы было получено при изучении распада 0– >, к детальному рассмотрению которого мы теперь переходим.
Используя редукционные формулы, амплитуду этого распада можно записать в виде
(k
1
,
1
),(k
2
,
2
)
|S|
0
(q)
=
– ie2
(2)9/2
*
(k
1
,
1
)
*
(k
2
,
2
)
d
4
x
1
d
4
x
2
d
4
z
e
i(x1·k1+x2·k2– z·q)
x
(
2
z
+m
2
TJ
em
(x
1
)
J
em
(x
2
)
0
(z)
0
,
(33.1)
где принято
A
(x)=J
em
(x),
A — поле фотонов48а). Выделяя дельта-функиию (k1+k2+q), получаем