Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
Q
a
(t)|vac=0 , Q
a
5
(t)|vac/=0 .
(30.8)
Нетрудно видеть, как это происходит. Пусть a+mG(p) - оператор рождения частицы, масса которой может быть равной нулю. Состояния
a
+
mG
(0)
(n)
…a
+
mG
(0)|(0)=|n
вырождены в пределе mG– >0. Таким образом, в этом пределе физический вакуум имеет вид
|vac=
C
n
|n.
Ожидается, что подобное явление происходит в квантовой хромодинамике, в частности в пределе mq– >0.
§ 31. Частичное сохранение аксиального тока и отношения масс кварков
Теперь мы можем получить количественные результаты для масс легких кварков. С этой целью рассмотрим ток
A
ud
(x)=
u
(x)
5
d(x) ,
и его дивергенцию
A
ud
(x)=i(m
u
+m
d
)
u
(x)
5
d(x) .
Последняя величина имеет квантовые числа +– мезона, и ее можно использовать как (составное) пионное поле. Поэтому напишем
A
ud
(x)=
2
f
m
2
(x) .
(31.1)
Коэффициенты в формуле (31.1) выбраны такими по историческим причинам. Пионное поле (x) нормировано следующим образом:
0|
(x)|(p)
=
1
(2)3/2
(31.2а)
где |(p) - однопионное состояние с импульсом p. Константа f может быть получена экспериментально. Действительно, рассмотрим слабый распад ->. Эффективный лагранжиан Ферми, описывающий слабые взаимодействия, имеет вид
L
F
int
=(G
F
/
2
)
(1-
5
)
u
(1-
5
)d+… .
Используя его, мы получаем
F(->)
=
2GF
2
u
(p
2
)
(1-
5
)
v
(p
1
,)
0|A
ud
(0)|(p) .
Исходя из соображений инвариантности, можно написать равенство
0|A
ud
(0)|(p)=ip
C
(31.2б)
свернув которое с компонентой импульса p , получим результат C=f2/(2)3/2:
m
2
C
0|
A
ud
(0)|(p)=
2
f
m
2
1
(2)3/2
;
(31.2в)
следовательно,
r(->)
=
4
(1-m
2
/m
2
)2 G
2
F f
2
mm
2
.
Таким образом, константа f непосредственно связана со скоростью распада -> . Экспериментально получено значение f93,3 МэВ. Замечательный факт состоит в том, что, повторив тот же анализ для каонов и используя равенство
A
us
(x)
=
2
f
K
m
2
K
K
(x) ,
(31.3)
мы получим экспериментальное значение fK110 МэВ , которое с точностью 20% согласуется со значением величины f . В действительности этого и следовало ожидать, так как в пределе mu, d, s– >0 разницы между пионами и каонами нет и должно выполняться строгое равенство. Тот факт, что значения f и fK реальном мире оказываются такими близкими, является веским аргументом в пользу киральной симметрии SUF(3).
Соотношения (31.1) и (31.3) иногда называют частичным сохранением аксиального тока (ЧСАТ)47), что не имеет большого смысла, так как эти соотношения на самом деле являются тождествами. Можно использовать любое желаемое пионное поле, в частности поле (31.1) при условии, что оно имеет правильные квантовые числа и его матричный элемент между вакуумным и однопионным состояниями не равен нулю. Нетривиальная часть явления частичного сохранения аксиального тока описана ниже.
47) Действительно, в пределе m^2– >0 правая часть равенства (31.1) обращается в нуль.
Следующий шаг состоит в рассмотрении двухточечных функций (индекс ud в обозначении Aud мы опускаем)
F
(q)
=
i
d
4
x e
iq·x
TA
(x)A
(0)
+
vac
,