Чтение онлайн

11.24. Второе уравнение можно записать в виде

2x + 2у (x · 2x– y + 1 + 3y · 22x + y) = 1.

В силу первого уравнения системы выражение в скобках равно 2. Поэтому

2x + 2у + 1 = 1,

откуда

x + 2y + 1 = 0, т. е. x = -2y– 1.

После подстановки в первое уравнение системы получим

2– 3y– 3 = 1/– 4 - 5y, или 23(y + 1) = -(4 + 5y).

Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение неравенства

– (4 + 5у) > 0, т. е. y < -4/5.

Рассмотрим следующие три случая.

1. 3(y + 1) < 0, т. е. y < -1. В этом случае правая часть уравнения должна быть меньше единицы, т. е.
– (4 + 5у) < 1, откуда y > -1. Поскольку ограничения y < -1 и y > -1 несовместны, при сделанном предположении нет решений.

2. 3(y + 1) > 0, т. е. y > -1. Тогда правая часть уравнения должна превзойти единицу, а потому y < -1. И на этот раз ограничения несовместны.

3. Остается посмотреть, что будет при 3(y + 1) = 0, т. е. y = -1. Легко проверить, что уравнение удовлетворяется. Найденному значению y соответствует x = 1. Проверкой убеждаемся, что мы нашли решение исходной системы.

Ответ. (1, -1).

11.25. Первое уравнение системы можно переписать в виде

log8 (y– x)^3 = log8 (3y– 5х).

Следствием данной системы является система

Перемножив входящие в нее уравнения, получим однородное уравнение относительно x и y:

5(y– x)^3 = (3y– 5х)(х^2 + y^2).

Если x /= 0, то разделим последнее уравнение почленно на x^3 и обозначим y/x = u. Получим уравнение относительно u:

u^3– 5u^2 + 6u = 0,

которое имеет корни: u1 = 0, u2 = 2, u3 = 3.

Если u = 0, то y = 0, а из второго уравнения исходной системы x = ±5.

При подстановке в первое уравнение исходной системы x = -5 и y = 0 это уравнение удовлетворяется, а при x = 5 и y = 0 уравнение не удовлетворяется. Если u = 3, то y = 3x, а потому x^2 = 1/2 , откуда

x =±1/2, y = ±3/2

(x и y в силу равенства y = 3x имеют одинаковые знаки). Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что решением системы будут

x = 1/2, y = 3/2.

Если u = 2, то y = 2x. Из двух систем значений (-1, -2), (1, 2) первому уравнению удовлетворяет только вторая.

Осталось рассмотреть случай x = 0. Он не дает новых решений, так как система превращается в два несовместных уравнения.

Ответ. (-5, 0); (1/2, 3/2); (1, 2).

11.26. Способ 1. Из второго уравнения

Подставляем в первое:

Так как

то получим уравнение

Прологарифмируем по основанию 3:

3log3^2 x– 8log3 x + 4 = 0,

откуда x1 = 3 2/3 , x2 = 9.

Находим соответствующие y и делаем проверку.

Способ 2. Применим равенство 

т. е.

Прологарифмировав по основанию 3, решим полученное уравнение совместно со вторым уравнением системы:

Ответ.

11.27. Так как x и y одного знака (это следует из второго уравнения) и x + y > 0 (из первого), то x и y положительны, причем либо x, либо y обязательно больше 1 (так как xy = 3). Следовательно, x + y > 1 и данная система может быть переписана так:

Если 0 < x– y < 1, то получим систему

следствием которой является система

Из первого уравнения получим 7 x = 9y. Подставляя сюда y = 3/x, найдем x^2 = 27/7, откуда

Убеждаемся, что при этих значениях x и y неравенство 0 < x– y < 1 выполняется.