Чтение онлайн

Пусть, наконец, 1 + 4 sin x < 0, т. е. sin x < - 1/4 . Уравнение

2 tg x |cos x| = -1,

к которому мы приходим в этом случае, равносильно такой совокупности систем:

Вторая система не имеет решений при sin x < - 1/4 , а первая дает нам x = -/6 + 2n.

Ответ. n + (-1)n + 1 arcsin 1/4 ; ±/6 + 2n.

13.13. Поскольку tg x + sin x = tg x (1 + cos x) = 2 tg x cos^2 x/2, а tg x– sin x = 2 tg x sin^2 x/2, данное уравнение можно записать в виде

2 tg 1/2 x(|cos x/2| + |sin x/2| - 2 cos x) = 0.

Первые решения получим при tg x = 0; x = k. Остальные решения нам доставят корни уравнения

|cos x/2| + |sin x/2| = 2 cos x,

при которых tg x > 0 (случай tg x = 0 уже исследован). Решим вначале последнее уравнение, а затем исключим те решения, которые не удовлетворяют неравенству tg x > 0. Возведем это уравнение в квадрат и, чтобы не нарушить равносильности, добавим ограничение cos x >= 0. Получим систему

Так как одновременно tg x > 0 и cos x > 0, то sin x > 0. Поэтому

|sin x| = sin x.

Приходим к уравнению

2sin^2 x + sin x– 1 = 0.

Решая его, найдем

|sin x| = – 1 ± 3/4.

Так как |sin x| >= 0, то остается решить уравнение

|sin x| = 1/2 ,

корнями которого будут числа

x = /6 + 2k, x = 5/6 + 2k.

Остается вспомнить, что tg x > 0.

Ответ. k, /6 + 2k.

13.14. При замене 1/sin 4x на

Так как в левую часть уравнения

ctg 2x + 3 tg 3x = 2 tg x + (1 + tg^2 2x)1/tg 2x

входит ctg 2x, то, заменив 1/tg 2x на ctg 2x и раскрыв скобки, мы уничтожим в правой и левой частях ctg 2x. Замена 1/tg 2x = ctg 2x грозит лишь приобретением корней, при которых tg 2x не существует, т. е. безопасна, так как tg 2x остается в уравнении. Когда происходит уничтожение одинаковых слагаемых ctg 2x, то нужно добавить к уравнению

3 tg 3x = 2 tg x + tg 2x,

условие

ctg 2x существует.

Мы воспользовались попутно неабсолютным тождеством tg 2x ctg 2x = 1, которое не приводит к приобретению посторонних корней, так как tg 2x и ctg 2x остались в системе.

Преобразуем уравнение следующим образом:

2(tg 3x– tg x) + tg 3x– tg 2x = 0,

т. е.

Теперь систему можно переписать так:

Так как sin 2x /= 0, то на него можно сократить. Получим уравнение

cos 2x = - 1/4 ,

откуда x = ±arccos(- 1/4 ) + k. Поскольку при этих x все ограничения выполняются, найденные значения x являются решениями данного уравнения.

Ответ. ±arccos(- 1/4 ) + k.

13.15. Данное уравнение равносильно системе

Пусть sin x^2 + cos x^2 = y. Возведем это соотношение в квадрат: 1 + 2 sin x^2 cos x^2 = y^2, откуда

sin x^2 cos x^2 = y^2 - 1/2.

После подстановки и простых преобразований уравнение примет вид

y^2 - 2y– 3 = 0,

откуда y1 = -1, y2 = 3. Второй корень посторонний, так как sin x^2 + cos х^2 всегда меньше двух.

Если sin x^2 + cos x^2 = -1, то

cos (х^2 - /4) = -1/2 и x^2 = 2n ± 3/4 + /4.

Взяв знак плюс, получим x^2 = (2n + 1). Этот корень посторонний, так как sin x^2 /= 0.

Для знака минус получим, что x^2 = -/2 + 2n. Это тоже посторонний корень, так как cos x^2 /= 0.

Ответ. Нет решений.

13.16. Данное уравнение равносильно системе

Уравнение можно привести к однородному, домножив 6 sin x на sin^2 x + cos^2 x: