Чтение онлайн

Если tg x /= 0, то 2 - 2 tg^2 x = 1, tg x = ±1/2. Так как cos 3x и cos 4x не обращаются при этом в нуль, то можно написать ответ.

Ответ. n; n ± arctg 1/2.

13.9. Уравнение можно переписать так:

Поскольку 0 < x < 2, то 0 < x/2 < и sin x/2 > 0. Однако cos x/2 в этом интервале меняет знак, и нам придется разбить интервал на два: 0 < x <= и < x < 2.

Если 0 < x <= , получим уравнение

2/2 sin x/2 + 2/2 cos x/2 = sin 2x,

y которого может появиться лишь один посторонний корень при cos x = 0. Перепишем последнее уравнение так:

sin (x/2 + /4) = sin 2x,

и найдем его корни из интервала 0 < x <= : x1 = /6, x2 = 3/10. Если < x < 2, придем к уравнению

2/2 sin x/2– 2/2 cos x/2 = sin 2x или sin (x/2– /4) = sin 2x,

которое даст нам еще два корня: x3 = 7/6, x4 = 13/10 . Очевидно, что для полученных углов cos x /= 0.

Ответ. /6; 3/10; 7/6; 13/10.

13.10. Перенеся sin в левую часть, запишем уравнение в виде

2 sin x/2 cos x– 2/2 = 2 sin x/2 cos x/2,

или

sin x/2 (cos x– 2/2 - cos x/2) = 0.

Если sin x/2 = 0, то x = 2n при любом . Если cos x– 2/2 = cos x/2, то либо x– 2/2 + x/2 = 2n, откуда x = 2n + , либо x– 2/2 – x/2 = 2n, откуда = 2n.

Ответ. При любом : 2n, 2n + ; при = 2n: x– любое.

13.11. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений

cos 2x = sin^2 x– a, cos 2x = a– sin^2 x.

Понизим степень в правой части каждого уравнения и найдем

cos 2x = 1 - 2a/3, cos 2x = 2a– 1.

Первое уравнение имеет решение, если

– 1 <= 1 - 2a/3 <= 1, т. е.
– 1 <= a <= 2.

Второе уравнение имеет решение, если -1 <= 2a– 1 <= 1, т. е. 0 <= a <= 1. Данное в условии уравнение при -1 <= a <= 2 имеет решения

x = n ± 1/2 arccos 1 - 2a/3,

а при 0 <= a <= 1 решения

x = n ± 1/2 arccos (1 - 2a).

Так как

0 <= 1/2 arccos 1 - 2a/3 <= /4 и 0 <= 1/2 arccos (1 - 2a) <= /2,

то легко найти решения нашего уравнения, которые попадут в интервал 0 <= x <= 2.

Ответ. 1/2 arccos 1 - 2a/3; ± 1/2 arccos 1 - 2a/3; 2 - 1/2 arccos 1 - 2a/3 (существуют при -1 <= a <= 2);

1/2 arccos (1 - 2a); ± 1/2 arccos (1 - 2a); 2 - 1/2 arccos (1 - 2a) (существуют при 0 <= a <= 1).

13.12. Преобразуем подкоренное выражение следующим образом:

sec^2 (17 + 8 sin x– 16 cos^2 x) = sec^2 x (1 + 8 sin x + 16 sin^2 x) = sec^2 x (1 + 4 sin x)^2.

Данное уравнение принимает вид

|1 + 4 sin x|/|cos x| = 2 tg x (1 + 4 sin x).

Если 1 + 4 sin x = 0, то x = n + (-1)n + 1 arcsin 1/4 . Это — корни нашего уравнения, так как cos x /= 0 и tg x существует.

Если 1 + 4 sin x /= 0, то придется рассмотреть два случая, зависящих от знака этого выражения.

Пусть 1 + 4 sin x > 0, т. е. sin x > - 1/4 . Тогда придем к уравнению

1/|cos x| = 2 tg x, или 2 tg x|cos x| = 1,

которое равносильно совокупности систем

Вторая система не имеет решений при sin x > - 1/4 . Решение первой: x = /6 + 2n.