Чтение онлайн

x1 = n + /12, x2 = (2n + 1)/2– /12.

Из всех ограничений осталось удовлетворить только одному: sin x > 0. Чтобы добиться этого, нужно для x1 и x2 взять n = 2k.

Ответ. 2k + /12; 2k + 5/12.

16.8. Данное уравнение равносильно системе

Условие sin x > 0 содержится в уравнении, так как справа стоит всегда неотрицательное число, а если cos x = 0, то sin x /= 0.

Рассмотрим следствие исходного уравнения

sin x = ±8 cos x,

а в конце проверим выполнение условий: sin x > 0 и cos^2 x /= 1/8. Получим

tg x = ±8, x = n + arctg 8.

Если tg x = ±8, то tg^2 x + 1 = 9 и cos^2 x = 1/9 /= 1/8. Чтобы проверить выполнение условия sin x > 0, рассмотрим два случая.

Если n = 2k, то x = 2k ± arctg 8. Это — углы, лежащие в первой и четвертой четвертях; условие sin x > 0 выполняется лишь для тех из них, которые лежат в первой четверти: x1 = 2k + arctg 8.

Если n = 2k + 1, то x = 2k + ± arctg 8. Здесь нужно выбрать знак минус, так как только тогда мы получаем угол, лежащий во второй четверти.

Ответ. 2k + arctg 8; (2k + 1) - arctg 8.

16.9. Данное уравнение эквивалентно такому:

( 1/2 )x = 4k + 1/20.

Так как x > 0, то ( 1/2 )x заключено между нулем и единицей. Следовательно, 0 < 4k + 1/20 < 1, откуда 0 <= k <= 4.

Для каждого из этих k находим соответствующее значение x.

Ответ. log2 20/4k + 1, где k = 0, 1, 2, 3, 4.

16.10. Решаем квадратное уравнение

Стоящее под корнем выражение неотрицательно, если -1 - 5 <= m <= -1 + 5.

Делаем следующий шаг:

Когда перед корнем взят минус, то стоящее справа положительное выражение не превзойдет единицы, а потому может быть косинусом. Когда перед корнем поставлен плюс, нужно, чтобы

После возведения в квадрат, учитывая полученные вначале ограничения для m, придем к системе

y которой два интервала решений:

– 1 - 5 <= m <= -3, 1 <= m <= -1 + 5.

Ответ. При -1 - 5 <= m <= -1 + 5, x = 2n ± arccos A,

при -1 - 5 <= m <= -3 и 1 <= m <= -1 + 5, x = 2n ± arccos B, где

16.11. Решаем квадратное уравнение относительно lg sin x:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 2 а^2 - 2 >= 0, т. е. а <= -1, а >= 1.

Поскольку

то правая часть не должна превосходить единицу, а потому

Когда а >= 1, нужно рассмотреть лишь неравенство

откуда (с учетом ограничения а > 1) получаем а > 2. Если же а <= -1, то

Ответ. При а <= -2

при -2 <= а <= -1 и при а >= 2

при -1 < а < 2 решений нет.

16.12. Данная система равносильна такой:

Решая входящие сюда два уравнения, получим

Из первого уравнения большой системы следует, что второе и третье неравенства выполняются одновременно. Поэтому достаточно потребовать

Аналогично убеждаемся, что условие 3x– 4у– 15 /= 1 выполняется при n /= -41/10, т. е. всегда, ибо n — целое.

Неравенство x + 2y > 0 справедливо при всех n > 1,5, т. е. n >= 2, а условие x + 2y /= 1 выполняется при n /= 1,9, т. е. всегда.

Ответ.

где n = 2, 3, 4, ... .

16.13. Если 4cos^2 x = u, то

4sin^2 x = 41 - cos^2 x = 4/u.

Следовательно, левая часть уравнения обращается в 4/u + u, где u > 0. В силу неравенства, связывающего среднее арифметическое чисел u и 4/u со средним геометрическим этих же чисел, имеем

4/u + u >= 4.