Чтение онлайн

Так как по условию a > 0, то 11a + 1 /= 0 и 3a + 4 /= 0. Поэтому

xk = k/11a + 1, xn = n/3a + 4.

Значения xk и xn при k, n = 0, 1, 2, ... (по условию x >= 0) образуют две прогрессии с разностями

d1 = /11a + 1, d2 = /3a + 4

и первыми членами, равными нулю. Числа xk и xn, расположенные в порядке возрастания, составляют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда их разности кратны, т. е. либо d2 = d1m при d1 <= d2, либо d1 = d2m при d2 <= d1 (m — натуральное число). Пусть, например, d1 <= d2. Тогда d1 — второй член новой прогрессии (первый ее член равен нулю) и d1 — разность этой прогрессии. Однако число d2, являясь членом второй прогрессии, также должно войти в новую прогрессию. Поэтому d2 = 0 + d1m = d1m. Обратно, если d2 = d1m и d1 <= d2, то xn = d2n = d1mn, т. е. каждый член второй прогрессии является членом первой прогрессии. Аналогичное доказательство может быть проведено для случая d2 <= d1.

Итак, для d1 <= d2 имеем

Так как m — натуральное, то 4m– 1 > 0. В свою очередь а > 0, а потому 11 - 3m > 0 и m < 11/3. Получаем три возможных значения m — 1, 2, 3 и соответствующие им значения а = 3/8, 7/5, 11/2.

Для d2 <= d1 получим

При натуральном m разность 11m– 3 положительна, а так как а > 0, то 4 - m > 0 или m < 4. Каждому из трех возможных значений m = 1, 2, 3 будет соответствовать свое значение а = 3/8, 2/19, 1/30.

Ответ. 1/30, 2/19, 3/8, 7/5, 11/2.

20.1. Докажем, что

S = 1/2 + ... + 1/n^2 < 1.

Так как

1/(1 + k)^2 < 1/k(1 + k),

то

При доказательстве мы воспользовались тем, что

1/(n– 1)n = 1/n– 1– 1/n.

Такой прием часто применяется и называется разложением дроби на простейшие.

20.2. Так как

то

Ответ. n– 1/d^2n.

20.3. Представим k– e слагаемое в виде

Тогда

Ответ.

20.4. Левую часть данного равенства перепишем в виде

воспользовавшись для этого формулой суммы членов геометрической прогрессии. Тогда (поскольку а /= 1)

Правая часть может быть записана так:

Итак,

По условию а /= 0, 1, -1. Это позволяет найти нужную нам зависимость.

Ответ. n + 1 = 2k + 1.

20.5. Расположим коэффициенты данного многочлена слева направо и разместим под ними коэффициенты того же многочлена, расположенные в обратном порядке,

Теперь можно выписать коэффициент при xn, составив сумму попарных произведений расположенных один под другим множителей:

1 · n + 1(n– 1) + 2(n– 2) + 3(n– 3) + ... + (n– 1)1 + n · 1.

Эту сумму можно преобразовать так:

Каждую из сумм, стоящих в скобках, легко подсчитать:

Таким образом, искомый коэффициент равен

Ответ.

20.6. Неравенство равносильно системе (в левой его части — абсолютная величина суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем — 2x):

Из второго неравенства следует, что -1 < 2x < 1, т. е. 1 + 2x > 0. Поэтому первое неравенство можно переписать в виде

|x|/1 + 2x < 1, или |x| < 1 + 2x.

Таким образом, приходим к системе

которая равносильна совокупности двух систем

Ответ.– 1/3 < x < 1/2 .

20.7. Так как k · k! = (k + 1)!
– k!, то

2!
– 1! + 3!
– 2! + 4!
– 3! + ... + (n + 1)!
– n! = (n + 1)!
– 1.

Ответ. (n + 1)!
– 1.

20.8. Домножим Sn на x^2:

x^2Sn = x^3 + 4x5 + 7x7 + ... + (3n– 2)x2n + 1,