Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
g,
m
q
– >Z
m,q
m
q
,
– >Z
.
(8.9)
Калибровочная инвариантность приводит к тому, что все кварковые перенормировочные множители Z равны одной и той же величине ZF. Аналогичное утверждение справедливо и для глюонных перенормировочных множителей, каждый из которых равен ZB. Кроме того, перенормировочные множители для вершин qqB, BBB, BBBB и B, которые, вообще говоря, могли бы быть разными, следует заменить одним перенормировочным множителем Zg. Такого специфического набора перенормировочных множителей оказывается вполне достаточно, чтобы обеспечить конечность функций Грина. Это является следствием тождеств (в случае абелевых калибровочных теорий называемых тождествами Уорда, а в случае неабелевых теорий - тождествами Славнова - Тейлора), которым в силу калибровочной инвариантности должны удовлетворять функции Грина. Как уже отмечалось, эти тождества12) возникают в результате преобразований БРС. Ниже будут приведены некоторые из наиболее важных тождеств Славнова - Тейлора.
12) Детальное исследование тождеств Уорда и Славнова — Тейлора можно найти в книгах [114, 189]
В заключение этого параграфа введем некоторые обозначения. Если в исходном лагранжиане провести замены (8.9), то мы получим выражение для перенормированного лагранжиана
L
R
=
{
i
q
q - m
q
q
q
}
-
1
(DxB)
2
–
(·B)
2
4
2
q
+
(
)D
(8.10 а)
где тильда над символом означает, что данная величина содержит соответствующий множитель Z, например
q=Z
– 1/2
q
u
,
F
m=Z
m
m,…,
Dq=
– igtB)q,
… и т.д.
(8.10 б)
Таким образом, лагранжиан LR формально совпадает с неперенормированным лагранжианом L при замене всех входящих в него неперенормированных величин на перенормированные. Перенормированный лагранжиан LR можно представить в виде суммы
L
=L
+L
R
uD
ctD
(8.11 а)
где член
L
uD
=
{
–
q
u
q
u
– m
q
u
q
u
}
-
1
(D
u
xD
u
)
2
–
(B
u
)
2
4
2
q
+
(
u
)D
u
,
(8.11 б)
содержит неперенормированные, или "голые", поля, заряды и массы, а член
L
ctD
=
L
– L
R
uD
=
(Z
– 1
– 1)i
q
q
u
F
q
+
(Z
– 1
Z
– 1/2
Z
– 1)g
q
u
t
a
q
u
B
+…
F
B
g
ua
(8.11 в)
описывает вклад контрчленов.
Мы видим, что в рамках теории возмущений взаимодействие описывается не только членами gq0uutq0uB0u,…, но и членами i(Z– 1F– 1)xq0u
q0u и и.д. При этом поля q0u, B0u, 0u удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям для свободных полей и порождают набор фейнмановских правил диаграммной техники, которые приведены в приложении Г. Следует отметить, что оба члена лагранжиана LuD и LctD требуют регуляризации; возникающие при этом бесконечности должны сокращаться так, чтобы лагранжиан LR при переходе к физическому пределу D->4 приводил к конечным выражениям. Далеко не очевидно, что существуют перенормировочные множители Z, удовлетворяющие этому требованию, и действительно (по крайней мере в рамках теории возмущений) далеко не все теории поля обладают свойством перенормируемости. Доказательство перенормируемости неабелевых калибровочных теорий, в частности квантовой хромодинамики, впервые было проведено т’ Хофтом [248]13). В этой книге перенормируемость КХД не доказывается; мы лишь убедимся, что лагранжиан в низших порядках теории возмущений приводит к конечным результатам.13 См. также работу [190]. Изложение современного состояния проблемы перенормировок а КХД можно найти а работе [114].
В рамках излагаемой здесь теории перенормировок, основывающейся главным образом на монографии Боголюбова и Ширкова [45], конечные (перенормированные) функции Грина выражаются через вакуумные средние вида
0|Tqu(x1)…Bu(y1)…u(z1)…|0,
для вычисления которых по теории возмущений используется полный (содержащий и контрчлены) лагранжиан взаимодействий (8.11). Однако мультипликативный характер перенормировок допускает иной подход к рассматриваемой проблеме. Можно пренебречь контрчленами и просто переопределить поля и константы связи, фигурирующие в функциях Грина в соответствии с формулами (8.9). Более подробно это изложено в последующих параграфах. Следует также отметить, что проводимые здесь процедуры перенормировок выполняются в рамках теории возмущений. Это означает, что все вычисления должны проводиться самосогласованно в одном и том же порядке по константе взаимодействия как в первоначальных членах взаимодействия, так и в контрчленах.
§ 9. Перенормировка в КХД (однопетпевое приближение)
1.
– перенормировка
Рассмотрим перенормированный лагранжиан квантовой хромодинамики. Для этого необходимо задать значения перенормировочных множителей Z. Начнем с определения неперенормированных функций Грина
GuD(x1,…,xN),
которые вычисляются по неперенормированному лагранжиану Lu. Функция G представляет собой вакуумное среднее от произведения полей