Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
il
''
(9.7 a)
то можно определить вершину V при p2=-2, 2>0:
V
R
p
2
1
=p
2
2
=(p
1
– p
2
)
2
=-
2
(9.7 б)
Как уже отмечалось, выполнение перенормировочной процедуры в значительной мере облегчается тем, что перенормированный лагранжиан LR можно подучить из "затравочного" лагранжиана LuD, проводя замену фигурирующих в нем полей по формулам (8.9). Для того чтобы вычислить любую функцию Грина, запишем ее в импульсном представлении и отсечем все внешние линии. При этом получим величину (p1,…pN-1;m,g,), определяемую формулой
(p
1
,…p
N-1
;m,g,)(p)
=K
1
(p
1
)…K
N
(p
N
)
d
4
x
1
…d
4
x
N
e
ixk·pk
xT
1
(x
1
)…
N
(x
N
)
0
;
(9.8)
где Kk– обратные пропагаторы; для фермионных полей iK(p)=S– 1R(p), для глюонных полей iK(p)=D– 1R(p) и т.д.13в). Вычислим неперенормированную функцию Грина
13в Отсечение внешних линий устраняет связанные с ним полюса фейнмановских диаграмм. Так как пропагаторы SR и DR перенормированы, функция Грина содержит множитель Z– 1/2 для каждой величины K, так что каждой полевой функции возникает эффективный полевой множитель Z 1/2 .
uD(p1,…pN-1;m,g,),
используя для этого лагранжиан LuD,int (выражение (9.2)). Тогда перенормированная функция Грина R получается из неперенормированной функции Грина uD:
R
(p
1
,…p
N-1
;m,g,)
=Z
– 1/2
…Z
– 1/2
(p
,…,p
;Z
m
m,Z
g
g,Z
).
1
N
uD
1
N-1
(9.9)
Это выражение приобретает более прозрачный смысл, если ввести следующие обозначения для затравочных параметров 14).
14 Массы и капибровочный параметр иногда удобно рассматривать как некоторые константы связи.
m
uqD
=Z
mq
m
q
,
uD
=Z
,
g
uD
=Z
g
;
(9.10)
тогда выражение (9.9) принимает вид
R
(p
1
,…p
N-1
;m,g,)
=Z
– 1/2
…Z
– 1/2
(p
,…,p
;m
uD
,g
uD
,
uD
).
1
N
uD
1
N-1
(9.11)
Для того чтобы проиллюстрировать, как работает описанная процедура, рассмотрим пропагатор кварка. Согласно общему рецепту, с учетом обозначения gg2/(4) можно записать следующее соотношение между перенормированным и неперенормированным пропагаторами:
S
R
(p; g
R
, m
R
,
R
) = Z
1/2
Z
1/2
S
(p; Z
g
g, Z
m
m, Z
).
F
F
uD
Все вычисления будут проводиться во втором порядке теории возмущений. Поэтому множители Zg и Z можно заменить на единицу, так как возникающие при этом поправки будут иметь более высокий порядок малости по константе связи g. Используя формулы {7.4), (7.5), получаем выражение для пропагатора кварка
S
R
(p; g,m,)=Z
– 1
i
=iZ
– 1
1-C
F
g
2
A
D
(p
2
)
.
F
(
– Z
m
m)
F
– Z
m
m{1-C
F
g
2
B
D
(p
2
)}
Как отмечалось выше, для того чтобы определить перенормировочный множитель Z, нужно задать значение кваркового пропагатора SR при некотором заданном 4-импульсе p=p.. Потребуем, чтобы в этой точке перенормированный пропагатор SR совпадал с пропагатором свободной частицы
S
(p; q,m,) =