Чтение онлайн

i

.

R

– m

(9.12)

Таким образом, находим, что при р2=-2 перенормировочный множитель ZF имеет вид

Z

F

Z

(

2

,m

2

)

FD

=

1

–

C

F

g

{

(1-)N

– 1-

1

dx[2(1-x)-]

4

0

x

log

xm

2

+x(1-x)

2

+(

2

+m

2

)

1

dx

x

}

,

2

0

0

m

2

+

2

x

(9.13)

Z

m

Z

m

(

2

,m

2

)

=

1-C

F

g

{

3N

– 1-2

1

dx(1+x)log

xm

2

+x(1-x)

2

4

0

2

0

+

(

2

+m

2

)

1

dx

x

}

.

0

m

2

+

2

x

(9.14)

Нужно подчеркнуть следующий важный факт: в то время как расходящаяся часть перенормировочного множителя ZF зависит от калибровки, расходящаяся часть множителя Zm калибровочно-независима, хотя в рамках данной схемы конечная часть перенормировочного множителя Zm все еще зависит от калибровки. Калибровочная зависимость множителя ZF означает, что можно выбрать такую калибровку, в которой этот множитель конечен. Из выражения (9.13) видно, что во втором порядке теории возмущений фермионный перенормировочный множитель ZF конечен в калибровке Ландау, когда =114a)

14a Калибровка Ландау удобна а теории, описывающей базмассовые частицы. В этой калибровке на только перенормировочный множитель ZF конечен, но и массовый оператор (2) равен нулю.

В квантовой электродинамике существует естественная перенормировочная схема; в ней электроны и фотоны выбираются на массовой поверхности (т.е. электронный пропагатор S задается в точке р2=m2, а фотонный D - при q2=0). Поскольку в КХД, по-видимому, происходит удержание кварков и глюонов, в ней не существует столь же естественного способа выбора схемы перенормировки. Следовательно, имеется определенный произвол в выборе перенормировочной схемы который может быть использован для того, чтобы максимально упростить вычисления. Этим требованиям удовлетворяет схема минимального вычитания, к обсуждению которой мы переходим.

2. Схема минимального вычитания

Как заметил т’Хофт [249], простейший способ исключения расходимостей из функций Грина состоит в отбрасывании полюсов по параметру 1/, появляющихся в размерной регуляризации (минимальное вычитание MS). Впоследствии было показано [29], что эти полюса всегда появляются в комбинации

N

=

2

 -

E

+ log4.

(9.15)

Следовательно, если отбросить только член 2/, то остаются трансцендентные величины E, log 4. Напомним, что зти величины возникают в результате обобщения проводимых вычислений на случай пространства произвольной размерности D=4-, что находит свое отражение в членах вида

(4)/2(/2)=N+O

Кажется вполне естественным отбросить и эти трансцендентные слагаемые. Это требование приводит к модифицированной схеме минимального вычитания (в дальнейшем обозначаемой MS, в которой множитель N исключается полностью15). В рамках этой схемы находим следующие выражения для перенормировочных множителей:

15) Схема MS может быть сведена к схеме MS заменой выражения dDk=4-D0 x dDk/(2)D на выражение dDk={4-d0/(2)D} / {(4)(4-D)/2(3-D/2)}.

Z

=1 - C

g

(1-)N

,

F

F

4

(9.16)

Z

=1 - C

3

g

 N

.

m

4

(9.17)

Мы будем пользоваться в основном схемой MS, поэтому черту над перенормировочными множителями Z, относящимися к этой схеме, в дальнейшем будем опускать. (В схеме MS множитель Zm не зависит от калибровки. В двухпетлевом приближении это проверено в работе [242], но результат, по-видимому, справедлив во всех порядках теории возмущений вследствие калибровочной независимости массового члена mqq .) Из выражений (9.16) и (9.17) видно, что, определив коэффициент с выражением C=cN можно написать

c

(1)

= - C

F

(1-) ,

F

(9.18)

c

(1)

= - 3C

F

m

(9.19)

Эти вычисления были проведены во втором порядке теории возмущений 16).

16) Вычисления были проведены Нанолулосом и Россом [208]; Таррач [242] проверил их и исправил тривиальную ошибку, допущенную в оригинальной работе [208].

Вычислим теперь в схеме MS другие перенормировочные константы. Начнем с глюонного пропагатора. Поперечная часть глюонного пропагатора записывается в виде

D

(q,g

u

,m

u

,

u

)

utr;ab

=

i

– g

+q

q

/q