Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
)
g
C
'a
[(p+k)
2
+i0][(p'+k)
2
+i0](k
2
+i0)
ij
div
=
ig
N
C
'a
.
16
2
ij
(9.27 б)
Здесь
C
'a
ij
=
g
2
c
(t
c
t
a
t
c
)
ij
= g
2
c
([t
c
,t
a
]t
c
)
ij
+ g
2
(
t
a
c
t
c
t
c
)
ij
=
g
2
t
a
{
–
1
C
A
+C
F
}
.
ij
2
(9.27 в)
При выводе этого выражения использованы формулы приложения В. Таким образом, окончательное выражение для вершины имеет вид
(2)
uij,a
div
=
N
g
3
{
C
A
+C
F
}
it
a
.
16
2
ij
(9.28)
В перенормировке вершины участвуют множители Zg, ZF и ZB:
V
=Z
– 1
Z
– 1/2
Z
V
.
Rij,a
F
B
g
uij,a
(9.29)
Используя полученные выше выражения для перенормировочных множителей ZF и ZB и только что вычисленное значение расходящейся части вершины (2)u, получаем следующий результат для зарядового перенормировочного множителя:
Z
g
=1-
g
{
11C
A
-
2
T
F
n
f
}
N
.
4
6
3
(9.30)
Таким образом,
c
(1)
= -
{
11
-
n
f
}
.
g
2
3
Интересно проследить за сокращением членов, пропорциональных множителю CF. Такое сокращение обязательно должно иметь место в силу того, что зарядовый перенормировочный множитель Zg можно вычислить в рамках чистой глюодинамики, не содержащей фермионов (см. ниже). Очевидно, что такое сокращение происходит благодаря калибровочной структуре теории, см. выражение (9.27в). В следующем порядке теории возмущений функция вычислена в работах [64, 179]. Вычисления коэффициента c(1)g были проведены Гроссом и Вильчеком [160] и Полицером [218], которые вместо кварк-глюонной вершины qqB использовали трехглюонную вершину. Такое вычисление связано с рассмотрением диаграмм рис. 8. Для этих же целей можно использовать вершину взаимодействия глюонов и духов B. Конечно, все способы рассмотрения приводят к одному и тому же результату, что является следствием калибровочной инвариантности теории.
Рис. 8. Трехглюонная вершина.
Следует отметить, что во всех порядках теории возмущений коэффициенты c(n)g, вычисленные в схеме MS , калибровочно-инвариантны [65].
§10. Глобальные симметрии лагранжиана КХД; сохраняющиеся токи
В этом параграфе мы рассмотрим глобальные симметрии лагранжиана КХД. Поскольку процедура перенормировок не меняет структуры лагранжиана, можно пренебречь различием между затравочным и перенормированным лагранжианами.
Очевидно, что лагранжиан инвариантен по отношению к преобразованиям из группы Пуанкаре x->x+a. Токи, соответствующие лоренцевым преобразованиям (являющимся генераторами полного спина системы), для нас не представляют большого интереса. Согласно теореме Нётер, инвариантность лагранжиана относительно пространственно-временных сдвигов приводит к следующему выражению для тензора энергии-импульса:
=
i
L
(
i
)
i
– g
L ,
(10.1)
где суммирование по i проводится по всем полям, фигурирующим в лагранжиане КХД. Из тензора энергии-импульса можно построить токи, удовлетворяющие условию сохранения
= 0,
и соответствующие этим токам сохраняющиеся "заряды", представляющие собой компоненты 4-импульса