Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
P
=
d
x
0
(x)
.
Явное выражение для тензора энергии-импульса в квантовой хромодинамике имеет вид17a)
17a) При квантовании теории произведение классических полей следует заменить на нормально упорядоченное произведение. Обсуждение вопроса о неоднозначности определения тензора энергии-импульса см. в работах [60, 74].
Тензор энергии-импульса определяется неоднозначно. В действительности из выражения (10.1) калибровочно-инвариантного выражения для тензора энергии-импульса получить не удается. Выражение же (10.2) возникает при замене обычных производных на ковариантные. Или, иначе, калибровочно-инвариантное выражение для тензора энергии-импульса можно получить из выражения (10.1), производя калибровочные преобразования одновременно с пространственно-временными трансляциями x– >x+. Например, если записать преобразование трансляции для глюонного поля B в виде Ba– >Ba + (Ba DBa + Ga), то первое слагаемое в скобках можно устранить калибровочным преобразованием, так что мы получим Ba– >Ba + Ga .
=
i
q
q
D
q - g
i
q
q
q + g
q
m
q
q
q
–
g
G
G
+ 1/4 g
G2
+
члены, фиксирующие калибровку + вклад духов.
(10.2)
Далее, существуют токи и заряды, связанные с вращениями в цветовом пространстве. Вывод формул для сохраняющихся токов, отвечающих глобальной внутренней симметрии лагранжиана КХД, мы оставляем читателю в качестве упражнения. Этот вывод представляет собой частный случай цветовых калибровочных преобразований (с постоянными калибровочными параметрами) и приводит к набору токов, не связанных с взаимодействием кварков и глюонов.
Если массы всех кварков равны нулю, то лагранжиан L инвариантен относительно преобразований вида
q
f
– >
nf
f'=1
U
ff'
q
f'
,
q
f
– >
nf
f'=1
V
ff'
5
q
f'
(10.3)
при условии, что матрицы U и V представляют собой унитарные матрицы размерности nfxnf. Отсюда следует, что токи
V
qq'
(x)=q(x)
q'(x) ,
A
qq'
(x)=q(x)
5
q'(x)
(10.4)
сохраняются каждый в отдельности. Если теперь в лагранжиане L учесть массовые члены, то сохраняется только диагональный ток Vqq; остальные токи при этом являются квазисохраняющимися, т.е. их дивергенции пропорциональны массам кварков. Вычисление дивергенций этих токов не представляет большой сложности; поскольку преобразования (10.3) коммутируют с членами лагранжиана L, описывающими взаимодействие кварков и глюонов, вычисления можно проводить в терминах свободных полей. В этом случае использование уравнения Дирака i
V
qq'
=i(m
q
– m
q'
)
q
q' ;
A
qq'
=i(m
q
– m
q'
)
q
5
q' .
(10.5)
Однако имеется одна тонкость, касающаяся расходимости аксиальных токов. Выражение (10.5) справедливо в случае недиагональных переходов (q/=q'); если же начальный и конечный кварки совпадают (q=q' ), то его следует заменить следующим выражением для дивергенции аксиального тока:
A
=i(m
q
+m
q
)q(x)
5
q(x)+
T
F
g
2
16
2
G
(x)G
(x).
(10.6)
Это так называемая треугольная аномалия Адлера - Белла - Джакива, которая будет рассмотрена в § 33, 37 и 38.
Также легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для аксиальных A или векторных V токов и полей. Используя преобразования (10.3), для свободных полей получаем
(x
0
– y
0
)
[
V
0
qq'
(x),q''(y)]=-(x-y)
qq''
q'(x)
,
(x
0
– y
0
)
[
A
0
qq'
(x),q''(y)]=-(x-y)
qq''
5
q'(x)
и т.д.
(10.7)